Bài 111481

Question

Dựng đường tròn bán kính

$R$ , đi qua điểm

$A$ và chắn trên đường thẳng

$(d)$ một dây có độ dài

$l$ .

score 0 · Answer 1

$1)$ Phân tích: Giả sử dựng được đường tròn

$(O; R)$ qua

$A$ và cắt

$d$ tại

$B, C$ sao cho

$BC=l$ .
Gọi

$M$ là trung điểm của

$BC$

$\Rightarrow OM^2=R^2-\frac{l^2}{4}, OA=R$

$2)$ Cách dựng: Dựng đường tròn

$(A; R)$ và đường thẳng

$(\Delta )\parallel d$ và cách

$d$ một khoảng bằng

$\sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} }$
Có:

$\Delta$ cắt

$(A; R)$ tại

$O$ thì

$(O; R)$ là đường tròn cần dựng.

$3)$ Chứng minh:
Ta có:

$\frac{1}{4}BC^2=MC^2=OC^2-OM^2=R^2-(R^2-\frac{l^2}{4} )=\frac{l^2}{4} \Rightarrow BC=l$
Mặt khác

$O \in (A; R) \Rightarrow OA=R$ . Vậy

$(O; R)$ là đường tròn cần dựng.

$4)$ Biện luận: Số nghiệm hình là số giao điểm của

$(A; R)$ và

$\Delta$ .
a) Nếu

$l > 2R\Rightarrow R^2-\frac{l^2}{4}<0 \Rightarrow$ Bài toán không có nghiệm hình.
b) Nếu

$l=2R; \Delta \equiv d$
- Nếu

$AH < R (H$ là hình chiếu của

$A$ xuống

$d) \Rightarrow (A; R)$ cắt

$\Delta$ tại

$2$ điểm

$O_1, O_2 \Rightarrow$ có

$2$ nghiệm hình.
- Nếu

$AH=R \Rightarrow (A; R)$ tiếp xúc với

$\Delta \Rightarrow$ có

$1$ nghiệm hình.
- Nếu

$AH>R \Rightarrow$ bài toán không có nghiệm hình.
c) Nếu

$l<2R \Rightarrow$ có hai đường

$\Delta _1, \Delta _2$ cách

$d$ khoảng

$\sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} }$
- Nếu

$AH- \sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} }>R \Leftrightarrow AH>R+\sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} }$

$\Rightarrow (A;R)$ không cắt

$\Delta _1, \Delta _2 \Rightarrow$ Bài toán không có nghiệm hình.
- Nếu

$AH=R+\sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} } \Rightarrow$ Bài toán có nghiệm hình
- Nếu

$R-\sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} }<AH<R+\sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} }$

$\Rightarrow (A;R)$ không cắt

$\Delta _2 (A;R)$ cắt

$\Delta _1$ tại hai điểm

$\Rightarrow$ bài toán có hai nghiệm hình.
- Nếu

$AH=R-\sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} } \Rightarrow$ Bài toán có

$3$ nghiệm hình.
- Nếu

$AH< R- \sqrt{R^2-\frac{l^2}{4} } \Rightarrow$ Bài toán có

$4$ nghiệm hình.

Bài 111481

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111481

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan