Bài 111350

Question

Trên đường tròn

$(O)$ cho hai dây cung

$AB$ và

$CD$ không cắt nhau và một điểm

$I$ trên dây

$CD$ . Dựng điểm

$M$ trên

$(O)$ sao cho hai dây cung

$MA$ và

$MB$ chắn

$CD$ một đoạn

$EF$ nhận

$I$ làm trung điểm.

score 0 · Answer 1

* Phân tích: Giả sử đã dựng được

$M$ thỏa mãn điều kiện bài toán,

$MA, MB$ chắn dây

$CD \Rightarrow M$ khác phía đối với

$A, B$ so với

$CD$ , mặt khác dựng các hình bình hành

$IEAE_1, IFBF_1, K$ là điểm đối xứng của

$I$ qua

$J$ trung điểm của

$AB$ .
Ta có

$AE_1 \parallel F_1B$ và

$AE_1 = F_1B \Rightarrow J$ là trung điểm

$E_1F_1 \Rightarrow IE_1KF_1$ là hình bình hành

$\Rightarrow \widehat{IE_1K}=180^0-\widehat{E_1IF_1} =180^0- \widehat{AMB} =180^0- \widehat{ACB}$ .

* Cách dựng:
- Dựng

$K$ đối xứng

$I$ qua

$J$
- Dựng cung chứa góc nhìn dây

$IK$ một góc

$180^0-\widehat{ACB}$ , cùng phía với

$A$ so với

$IK$ , gọi đó là

$\gamma$ .
- Dựng đường thẳng

$(d)$ đi qua

$A,$ song song với

$CD,$ cắt

$\gamma$ tại

$E_1$ .
- Dựng đường thẳng đi qua

$A,$ song song với

$E_1I,$ cắt

$(O)$ tại

$M$ là điểm cần dựng.

* Chứng minh: Gọi

$F_1$ là điểm đối xứng của

$E_1$ qua

$J$ .
Ta có:

$AE_1IE$ là hình bình hành

$\Rightarrow IE=AE_1$ mà

$AE_1=F_1B (AE_1BF_1$ là hình bình hành)

$\Rightarrow IE=F_1B$
Mặt khác

$\widehat{E_1IF_1}=180^0-\widehat{KE_1I}=\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$ .
Và ta lại có:

$IE_1 \parallel MA \Rightarrow IF_1 \parallel MB, BF_1 \parallel AE_1 \parallel CD$

$\Rightarrow IFBF_1$ là hình bình hành

$\Rightarrow IF=BF_1.$ Vậy

$IF=IE$ .

* Biện luận: số nghiệm hình chính là số giao điểm của

$(d)$ và

$(\gamma)$ .

Bài 111350

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111350

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan