Bài 111350

Question

Trên đường tròn $(O)$ cho hai dây cung $AB$ và $CD$ không cắt nhau và một điểm $I$ trên dây $CD$. Dựng điểm $M$ trên $(O)$ sao cho hai dây cung $MA$ và $MB$ chắn $CD$ một đoạn $EF$ nhận $I$ làm trung điểm.

score 0 · Answer 1

* Phân tích: Giả sử đã dựng được $M$ thỏa mãn điều kiện bài toán, $MA, MB$ chắn dây $CD   \Rightarrow M$ khác phía đối với $A, B$ so với $CD$, mặt khác dựng các hình bình hành $IEAE_1, IFBF_1, K$ là điểm đối xứng của $I$ qua $J$ trung điểm của $AB$.
Ta có $AE_1 \parallel F_1B$ và $AE_1 = F_1B \Rightarrow   J$ là trung điểm $E_1F_1   \Rightarrow    IE_1KF_1$ là hình bình hành   $\Rightarrow   \widehat{IE_1K}=180^0-\widehat{E_1IF_1} =180^0- \widehat{AMB}   =180^0- \widehat{ACB} $.

* Cách dựng:
- Dựng $K$ đối xứng $I$ qua $J$
- Dựng cung chứa góc nhìn dây $IK$ một góc $180^0-\widehat{ACB} $, cùng phía với $A$ so với $IK$, gọi đó là $\gamma$.
- Dựng đường thẳng $(d)$ đi qua $A, $ song song với $ CD, $ cắt $\gamma$ tại $E_1$.
- Dựng đường thẳng đi qua $A, $ song song với $ E_1I, $ cắt $(O)$ tại $M$ là điểm cần dựng.

* Chứng minh: Gọi $F_1$ là điểm đối xứng của $E_1$ qua $J$.
Ta có: $AE_1IE$ là hình bình hành   $\Rightarrow IE=AE_1$ mà $AE_1=F_1B   (AE_1BF_1$là hình bình hành) $\Rightarrow   IE=F_1B$
Mặt khác $\widehat{E_1IF_1}=180^0-\widehat{KE_1I}=\widehat{ACB}=\widehat{AMB}    $ .
Và ta lại có: $IE_1 \parallel  MA \Rightarrow   IF_1 \parallel MB, BF_1 \parallel AE_1 \parallel CD$
$\Rightarrow   IFBF_1$ là hình bình hành $\Rightarrow   IF=BF_1.$ Vậy $IF=IE$.

* Biện luận: số nghiệm hình chính là số giao điểm của $(d)$ và $(\gamma)$.

Bài 111350

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111350

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan