Bài 107342

Question

Giả sử một hình $(F)$ có hai trục đối xứng vuông góc nhau tại $O$. Chứng minh rằng hình $(F)$ có tâm đối xứng là $O$.

phuongna · Answer 1 · 6/8/2012 10:31:55 AM

Giả sử $a$ và $b$ là hai trục đối xứng của $F$ và $a \bot b$ tại $O$. Lấy điểm $M$ bất kì thuộc $(F)$ và gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua $a, M''$ là điểm đối xứng với $M'$ qua $b$. Khi đó theo định nghĩa của trục đối xứng thì $M'$ và $M''$ cũng thuộc $(F)$. Khi đó, $M''$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$.
Thật vậy, vì các tam giác $OMM'$ và $OM'M''$ cân nên:
$\widehat{O_{1}}=180^0-2\widehat{M}, \widehat{O_{2}}=180^0-2\widehat{M''}$
Suy ra: $\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{2}}=360^0-2(\widehat{M}+\widehat{M''})=360^0-2(\widehat{M'_{1}}+\widehat{M'_{2}})$.
Vì $a \bot b$ nên theo định nghĩa của phép đối xứng trục thì
$\widehat{M'_{1}}+\widehat{M'_{2}}=90^0$.
Vậy $\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{2}}=360^0-2.90^0=180^0$ hay $M, O, M''$ thẳng hàng.
Mặt khác $OM=OM'=OM''$ nên $M''$ là ảnh của $M$ qua $Đ_{0}$.
Như vậy phép đối xứng tâm $Đ_{0}$biến điểm $M$ bất kì thành điểm $M''$ thuộc $H$.
Tóm lại, hình $(F)$ có tâm đối xứng là điểm $O$.

Bài 107342

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107342

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan