Bài 111096

Question

Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính giá trị biểu thức:
$A= \tan 142^0 30' + \tan 105^0, B= \frac{\cos \alpha. \cos 13 \alpha}{\cos 3\alpha + \cos 5 \alpha}$ với $\alpha=\frac{\pi}{17} $

score 0 · Answer 1

$\tan 142^0 30'=\tan (180^0-\frac{75^0}{2} )=-\tan \frac{75^0}{2} $
Ta có: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}=\frac{2\sin^2 x}{\sin 2x}=\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x} $ hay $\tan \frac{75^0}{2}=\frac{1-\cos 75^0} {\sin 75^0} $
do đó    $\tan 142^0 30' =-\frac{1-\cos 75^0}{\sin 75^0}=\frac{\cos (30^0+45^0)-1}{\sin (30^0+45^0)} $
                                $=\frac{\cos 30^0\cos 45^0-\sin 30^0 \sin 45^0-1}{\sin 30^0 \cos 45^0 +\sin 45^0 \cos 30^0} $
                            $=\frac{\frac{\sqrt{3} }{2}.\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2} }{2} -1 }{\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2} }{2} .\frac{\sqrt[]{3} }{2} }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}-4 }{\sqrt{2}+\sqrt{6} } $
                             $=\frac{(\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2}-4)(\sqrt[]{6}-\sqrt[]{2})}{4}=2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}$
Mặt khác:   $\tan 105^0=\frac{\sin 105^0}{\cos 105^0}=\frac{\sin (60^0+45^0)}{\cos (60^0+45^0)}=\frac{\sin 60^0 \cos 45^0 + \sin 45^0\cos 60^0}{\cos 60^0\sin 45^0- \sin 60^0 \cos 45^0}   $
                         $= \frac{\frac{\sqrt{3} }{2}.\frac{\sqrt{2} }{2}+\frac{\sqrt{2} }{2}.\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2} }{2}+\frac{\sqrt{3} }{2}.\frac{\sqrt[]{2} }{2}}=\frac{1+\sqrt{3} }{1-\sqrt{3}}=-(2+\sqrt{3} ) $
Vậy $A=2+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6}-2-\sqrt{3}=\sqrt{2} -2\sqrt{3} -\sqrt{6} $.
      $B=\frac{\cos \alpha. \cos 13 \alpha}{2\cos \alpha. \cos 4 \alpha} = \frac{\cos 13 \alpha}{2 \cos 4 \alpha} =\frac{\cos \frac{13 \pi}{17} }{2\cos \frac{4\pi}{17} }=\frac{-\cos (\pi -\frac{13 \pi}{17} )}{2\cos \frac{4\pi}{17} }=-\frac{\cos \frac{4\pi}{17} }{2\cos \frac{4\pi}{17} }=-\frac{1}{2}     $

Bài 111096

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111096

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan