Bài 110734

Question

Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$ cố định thuộc đường tròn; một dây $BD$ thay đổi có độ dài $2a$ ( $a$ là một độ dài cho trước ).Dựng hình bình hành $ABCD$.Gọi $K,H$ theo thứ tự là các trực tâm của các tam giác $BCD$ và $ABD$
$a.$ Chứng minh $K$ là điểm cố định
$b.$ Tìm tập hợp điểm $H$
$c.$ Tìm tập hợp đỉnh $C$

score 0 · Answer 1

$a.$ Tứ giác $CFKE$ cho ta
$\widehat{C} +\widehat{K_1}=180^0 $
mà $\widehat{C}=\widehat{A};\widehat{K_1}=\widehat{K_2}    $
$\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{K_2}=180^0\Rightarrow    $ tứ giác $ABDK$ nội tiếp được, suy ra điểm $K$ nằm trên đường tròn $(O,R)$
ta lại có $\widehat{KDA}=90^0\Rightarrow K$ là điểm xuyên tâm đối của $A\Rightarrow K$ là điểm cố định
$b.$ Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$ ta có
$OI^2=OB^2-BI^2=R^2-a^2\Rightarrow OI=\sqrt{R^2-a^2} $
Ta lại có $\overrightarrow {AH}=2\overrightarrow {OI} $
$\Rightarrow AH=2\overrightarrow {OI}\Rightarrow AH=2\sqrt{R^2-a^2}   $
Suy ra tập hợp của điểm $H$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $2\sqrt{R^2-a^2} $
$a.$ $O$ là trung điểm của $AK$ và $I$ là trung điểm của $AC$ nên $OI$ là đường trung bình, cho ta $CK=2OI$ kết hợp với câu $b.$
ta có : $AH=CK      (1)$
Dễ thấy $AH//CK    (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $AHCK$ là hình bình hành cho ta
$\overrightarrow {HC}=\overrightarrow {AK} $
Đẳng thức này chứng tỏ $C$ là ảnh của $H$ trong phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow {AK} $ : Tập hợp các điểm $C$ là ảnh của tập hợp các điểm $H$ trong phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow {AK} $
Vậy tập hợp các điểm $C$ là đường tròn ảnh của đường tròn $(A;2\sqrt{R^2-a^2} )$ trong phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow {AK} $.Đó là đường tròn $(K;2\sqrt{R^2-a^2} )$

Bài 110734

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110734

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan