Bài 110730

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng :
$\Delta: \begin{cases}2x+y+z+1=0 \\ x+y+z+2=0 \end{cases}$ và mặt phẳng $(P): 4x-2y+z-1=0$.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của $\Delta$ trên $(P)$

score 0 · Answer 1

Hình chiếu $\Delta$ của $d$ trên $(P)$ nằm trên mặt phẳng $(Q)$ đó là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.
Vì $(Q)$ chứa $\Delta$, nên nó thuộc chùm mặt phẳng:
$\alpha(2x+y+z+1)+\beta(x+y+z+2)=0$
$\Leftrightarrow (2\alpha+\beta)x+(\alpha+\beta)y+(\alpha+\beta)z+\alpha+2\beta=0 (1) , \alpha^2+\beta^2>0$
khi đó $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_Q}=(2\alpha+\beta;\alpha+\beta;\alpha+\beta)$.
Vì $(P)$ vuông góc với $(Q)$ nên : $\overrightarrow{n_Q}.\overrightarrow{n_P}=0$, ở đây $\overrightarrow{n_P}=(4;-2;1)$.
Do đó ta có:
$4(2\alpha+\beta)-2(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)=0\Leftrightarrow 7\alpha+3\beta=0 (2)$
Từ $(2)$ và do $\alpha^2+\beta^2>0$, nên chọn $\alpha=3;\beta=-7$.
Thay vào $(1)$ ta có: $(Q): -x-4y-4z-11=0\Leftrightarrow x+4y+4z+11=0$
Vậy hình chiếu $d$ của $\Delta$ trên $(P)$ có dạng sau: $d: \begin{cases}4x-2y+z-1= 0\\ z+4y+4z+11=0 \end{cases}$

Bài 110730

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110730

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan