Bài 110541

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) (b,c>0)$, và mặt phẳng $(P): y-z+1=0$. Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$, biết rằng nó vuông góc với $(P)$ và khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\frac{1}{3}$.

score 0 · Answer 1

Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình theo đoạn chắn là:
$\frac{x}{1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 (1)$
Vectơ pháp tuyến của nó là $\overrightarrow{n}=(1;\frac{1}{b};\frac{1}{c})$

Vì $(P) : y-z+1=0$, nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(0;1;-1)$
Do $(ABC)\bot (P) \Rightarrow \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{n_P}\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_P}=0\Rightarrow \frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\Rightarrow b=c (2)$
Theo giả thiết ta có: $d(O;(ABC))=\frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow 1+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=9\Leftrightarrow \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=8 (3)$
Thay $(2)$ vào $(3)$, vì $b,c>0$ nên ta có $b=c=\frac{1}{2}$.
Như thế thay vào $(1)$ ta được: $x+2y+2z-1=0$ là phương trình có mặt phẳng $(ABC)$.

Bài 110541

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110541

1 Đáp án

Liên quan

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Lý thuyết liên quan