Bài 110447

Question

Cho Elip $(E)$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình: $(E): \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1 $ và $(d):x-y\sqrt{2}+2=0 $
a. Chứng minh rằng $(d)$ luôn cắt $(E)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Tính độ dài $AB$
b. Tìm tọa độ $C$ thuộc $(E)$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/3/2012 2:39:35 PM

a. Xét phương trình tạo bởi $(d)$ và $(E)$:
$\begin{cases}\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1 \\ x-y\sqrt{2}+2=0 \end{cases} \Rightarrow A(\sqrt{3}-1;\frac{\sqrt{2} +\sqrt{6} }{2} ), B(-\sqrt{3}-1;\frac{\sqrt{2} -\sqrt{6} }{2} )$ và $AB=3\sqrt{2} $
b. Lấy $C(x_0; y_0)\in (E)\Rightarrow \frac{x_0^2}{8}+\frac{y_0^2}{4}=1 (1)$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AB$. Ta được:
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.CH=\frac{3\sqrt{2} }{2} CH $ trong đó $CH=d(C,(d))=\frac{|3x_0+4y_0-12|}{5} $
$- \Delta ABC$ có diện tích lớn nhất $\Leftrightarrow CH_{Max}$
Ta có:
$CH $$= \frac{{|{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| {\sqrt 8 \frac{{{x_0}}}{{\sqrt 8 }} + ( - 2\sqrt 2 )\frac{{{y_0}}}{2} + 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} \le \frac{{\left| {\sqrt {(8 + 8)\left( {\frac{{x_0^2}}{8} + \frac{{y_0^2}}{4}} \right)} + 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} = $$2\sqrt 3 $
$ \Rightarrow C{H_{M{\rm{ax}}}} = 2\sqrt 3 \Rightarrow {S_{M{\rm{ax}}}} = 3\sqrt 6 $
đạt được khi: $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x_0^2}}{8} + \frac{{y_0^2}}{4} = 1\\
\frac{{{x_0}/\sqrt 8 }}{{{y_0}/2}} = \frac{{\sqrt 8 }}{{ - 2\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow {C_0}(2; - \sqrt 2 )$

Bài 110447

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110447

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan