|
|
Elip đã cho nhận $Ox$ là trục đối xứng và điểm $A(-2;0)$ thuộc trục đối xứng đó nên ($C$) cũng nhận $Ox $làm trục đối xứng, vì vậy chỉ cần xét $M$ chạy trên nửa phía trên trục hoành của elip. Gọi $k$ là hệ số góc của đường thẳng $OM$ thì $OM$ có phương trình: $y = kx$. Thế $y = kx$ vào $\frac{{{x^2}}}{4} +
{y^2} = 1\,\,$ta được $(4{k^2} + 1){x^2} = 4$
$ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{{4{k^2} + 1}}$
$ \Rightarrow x = \frac{{ \pm 2}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}$
Chú ý rằng nếu $k \ge 0$ thì $OM$ nằm trong góc phần tư thứ nhất $ \Rightarrow x \ge 0$ $
\Rightarrow x = \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}$
Còn nếu $k < 0$ thì $OM$ nằm trong góc phần tư thứ $II$ $ \Rightarrow x < 0$$ \Rightarrow x = -
\frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}$
$a)$ với $k \geq 0$ thì $M$ có tọa độ $x = \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }};\,y = \frac{2k}{{\sqrt {4{k^2}
+ 1} }} \Rightarrow H\left( {0;\frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}} \right)$
$(AH):\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{{\frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}}} = 1 \Leftrightarrow
\frac{x}{{ - 2}} + \frac{{y\sqrt {4{k^2} + 1} }}{{2k}} = 1$
Để tìm tọa độ giao điểm $OM$ và $AH$ (tức là tọa độ $P$) ta thế $y = kx$ vào pt $AH \Rightarrow \frac{x}{{ - 2}} + \frac{{kx\sqrt {4{k^2} + 1} }}{{2k}} = 1 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {4{k^2} + 1} - 1} \right)x = 2$
Vậy ($P$) có tọa độ: $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} - 1}}\,\,(4)\\
y = kx\,\,(5)
\end{array} \right.$
Khử $k$ từ hệ ($4), (5) : (4):$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt {4{k^2} + 1} = \frac{2}{x} + 1 \Rightarrow {k^2} = \frac{1}{{{x^2}}} +
\frac{1}{x}\\
\Rightarrow {k^2}{x^2} = 1 + x\,(5) \Rightarrow {y^2} = 1 + x
\end{array}$
Do đó $P$ chạy trên Parabol ${y^2} = 1 + x$
$b)$ Với $k < 0$ thì $M$ có tọa độ $x = - \frac{2}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }} \,\,;\,\,y = -
\frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}\,\,;\,\,H\left( {0; - \frac{{2k}}{{\sqrt {4{k^2} + 1} }}} \right)$
Giải tương tự như câu $a)$ ta cũng được $P$ chạy trên Parabol ${y^2} = 1 + x$
Vậy khi $M$ chạy trên nửa elip phía trên trục hoành thì $P$ chạy trên Parabol ${y^2} = 1 + x$. Parabol
này nhận $Ox$ làm trục đối xứng $\Leftrightarrow $ Khi $M$ chạy trên cả elip thì $P$ chạy trên đường cong ($C$): ${y^2} =
1 + x$
Bạn đọc tự vẽ $(C)$
|