Bài 110355

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ, ngoài ra $B=(a;0;0); D=(0;a;0) ; A'=(0;0;b) (a>0; b>0)$. Gọi $M$ là trung điểm của $CC'$. Tìm tỉ số $\frac{a}{b} $ để hai mặt phẳng $ (A'BD) ,(MBD)$ vuông góc với nhau.

score 0 · Answer 1

Ta gọi $K$ là tâm của đáy $ABCD$, thì $K=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$
ta có: $C=(a;a;0), C'=(a;a;b) \Rightarrow M=(a;a;\frac{b}{2})$.

Dễ thấy $MB=MD; A'B=A'D\Rightarrow MK \bot BD; A'K \bot BD$.
Vậy $\widehat{A'KM} $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $ (A'BD) $ và $(MBD)$. Từ đó suy ra:
$(A'BD) \bot (MBD)\Leftrightarrow \widehat{A'KM}=90^0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{A'K}.\overrightarrow{KM}=0 (1)$
Do $\overrightarrow{A'K}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};-b); \overrightarrow{KM}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{b}{2}) $
Vì thế $(1)\Leftrightarrow \frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{2}=0 \Leftrightarrow a=b \Leftrightarrow \frac{a}{b}=1 $ .

Bài 110355

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110355

1 Đáp án

Liên quan

Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết liên quan