Bài 110347

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a; AD=a\sqrt{2}; SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD; SC$. Chứng minh rằng $(SAC)$ và $(SMB)$ là hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

score 0 · Answer 1

Dựng hệ trục tọa độ $Axyz$ với gốc tọa độ $A$.

Trong hệ trục tọa độ này ta có:
$A=(0;0;0); B=(0;a;0); D=(a\sqrt{2};0;0); C=(a\sqrt{2};a;0); $
$S=(0;0;a);M=(\frac {a\sqrt{2}}{2};0;0); N=(\frac {a\sqrt{2}}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2})$.
Từ đó: $\overrightarrow{SA}=(0;0;-a);\overrightarrow{AC}=(a\sqrt{2};a;0); \overrightarrow{SM}=(\frac {a\sqrt{2}}{2};0;-a);\overrightarrow{MB}=(-\frac {a\sqrt{2}}{2};a;0)$.
Gọi $\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}$ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của $(SAC);(SMB)$.
Ta có: $\overrightarrow{n_1}=[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{0}}&{{-a}}\\
{{a}}&{{0}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-a}}&{{0}}\\
{{0}}&{{a\sqrt{2}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{0}}&{{0}}\\
{{a\sqrt{2}}}&{{a}}
\end{array}} \right|)=(a^2;-a^2 \sqrt{2};0) $,
$\overrightarrow{n_2}=[\overrightarrow{SM},\overrightarrow{MB}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{0}}&{{-a}}\\
{{a}}&{{0}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-a}}&{{\frac{a\sqrt{2}}{2}}}\\
{{0}}&{{-\frac{a\sqrt{2}}{2}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\frac{a\sqrt{2}}{2}}}&{{0}}\\
{{-\frac{a\sqrt{2}}{2}}}&{{a}}
\end{array}} \right|)=(a^2;\frac{a^2\sqrt{2}}{2};\frac{a^2\sqrt{2}}{2}) $.
Như vậy $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=a^4-a^4=0\Rightarrow \overrightarrow{n_1} \bot \overrightarrow{n_2}\Rightarrow (SAC) \bot (SMB) \Rightarrow $ đpcm.

Bài 110347

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110347

1 Đáp án

Liên quan

Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết liên quan