|
|
Điểm $M(x_0; y_0)\in (E)\Rightarrow \frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1 (1)$
$MF_1=a+\frac{cx_0}{a}=2+\frac{x_0\sqrt{3} }{2} $ và $MF_2=a-\frac{cx_0}{a}=2-\frac{x_0\sqrt{3} }{2} (2)$
a. Từ giả thiết ta có:
$\begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
M{F_1} = 7M{F_2}\\
M{F_2} = 7M{F_1}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 0 = (M{F_1} - 7M{F_2})(M{F_2} - 7M{F_1}) = 50M{F_1}.M{F_2} - 7(MF_1^2 + MF_2^2)\\
= 50M{F_1}.M{F_2} - 7[{(M{F_1} + M{F_2})^2}{\rm{ - 2}}M{F_1}{\rm{.}}M{F_2}{\rm{]}}\\
= 50M{F_1}.M{F_2} - 7(16 - 2M{F_1}.M{F_2}) = 64M{F_1}.M{F_2} - 112\\
= 64\left( {2 + \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}} \right).\left( {2 - \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}} \right) - 112 = 64\left( {4 - \frac{{3x_0^2}}{4}} \right) - 112 = 144 - 48x_0^2\\
\Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \pm \frac{1}{2}
\end{array}$
Vậy, tồn tại bốn điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài là: ${M_1}\left( {\sqrt 3 ;\frac{1}{2}} \right),\,\,{M_2}\left( { - \sqrt 3 ;\frac{1}{2}} \right),\,\,{M_3}\left( {\sqrt 3 ; - \frac{1}{2}} \right),\,\,{M_4}\left( { - \sqrt 3 ; - \frac{1}{2}} \right)$
b. Xét $\Delta MF_1F_2$, ta có:
$\begin{array}{l}
{F_1}{F_2}^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}.c{\rm{os}}{60^0}\\
= \left[ {{{\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)}^2} - 2M{F_1}.M{F_2}} \right] - M{F_1}.M{F_2}\\
\Leftrightarrow 12 = 16 - 3M{F_1}.M{F_2} \Leftrightarrow 4 = 3(2 + \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}).(2 - \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}) = 3(4 - \frac{{3{x_0}}}{4})\\
\Leftrightarrow {x_0} = \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow {y_0} = \pm \frac{1}{3}
\end{array}$
Vậy, tồn tại bốn điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài là:
${M_5}\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\,\,{M_6}\left( { - \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\,\,{M_7}\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),\,\,{M_8}\left( { - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$
c. Tương tự câu b) ta xét $\Delta MF_1F_2$, ta có: $F_1F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2MF_1.MF_2.\cos 90^0$
...
Vậy, tồn tại bốn điểm thỏa mãn đầu bài:
${M_9}\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),\,\,{M_{10}}\left( { - \frac{{2\sqrt 6 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),\,\,{M_{11}}\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}; - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),\,\,{M_{12}}\left( { - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}; - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)$
|
|
|
Đăng bài 02-07-12 11:46 AM
|
|