Bài 110300

Question

Cho Elip

$(E)$ có phương trình

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ . Tìm các điểm

$M$ thuộc Elip

$(E)$ sao cho:
a. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng

$7$ lần bán kính qua tiêu điểm kia.
b.

$M$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc

$60^0$
c.

$M$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc

$90^0$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/2/2012 11:46:20 AM

Điểm

$M(x_0; y_0)\in (E)\Rightarrow \frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1 (1)$

$MF_1=a+\frac{cx_0}{a}=2+\frac{x_0\sqrt{3} }{2}$ và

$MF_2=a-\frac{cx_0}{a}=2-\frac{x_0\sqrt{3} }{2} (2)$
a. Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} M{F_1} = 7M{F_2}\\ M{F_2} = 7M{F_1} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 0 = (M{F_1} - 7M{F_2})(M{F_2} - 7M{F_1}) = 50M{F_1}.M{F_2} - 7(MF_1^2 + MF_2^2)\\ = 50M{F_1}.M{F_2} - 7[{(M{F_1} + M{F_2})^2}{\rm{ - 2}}M{F_1}{\rm{.}}M{F_2}{\rm{]}}\\ = 50M{F_1}.M{F_2} - 7(16 - 2M{F_1}.M{F_2}) = 64M{F_1}.M{F_2} - 112\\ = 64\left( {2 + \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}} \right).\left( {2 - \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}} \right) - 112 = 64\left( {4 - \frac{{3x_0^2}}{4}} \right) - 112 = 144 - 48x_0^2\\ \Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \pm \frac{1}{2} \end{array}$
Vậy, tồn tại bốn điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài là:

${M_1}\left( {\sqrt 3 ;\frac{1}{2}} \right),\,\,{M_2}\left( { - \sqrt 3 ;\frac{1}{2}} \right),\,\,{M_3}\left( {\sqrt 3 ; - \frac{1}{2}} \right),\,\,{M_4}\left( { - \sqrt 3 ; - \frac{1}{2}} \right)$
b. Xét

$\Delta MF_1F_2$ , ta có:

$\begin{array}{l} {F_1}{F_2}^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}.c{\rm{os}}{60^0}\\ = \left[ {{{\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)}^2} - 2M{F_1}.M{F_2}} \right] - M{F_1}.M{F_2}\\ \Leftrightarrow 12 = 16 - 3M{F_1}.M{F_2} \Leftrightarrow 4 = 3(2 + \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}).(2 - \frac{{{x_0}\sqrt 3 }}{2}) = 3(4 - \frac{{3{x_0}}}{4})\\ \Leftrightarrow {x_0} = \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow {y_0} = \pm \frac{1}{3} \end{array}$
Vậy, tồn tại bốn điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài là:

${M_5}\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\,\,{M_6}\left( { - \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\,\,{M_7}\left( {\frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),\,\,{M_8}\left( { - \frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$
c. Tương tự câu b) ta xét

$\Delta MF_1F_2$ , ta có:

$F_1F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2MF_1.MF_2.\cos 90^0$
...
Vậy, tồn tại bốn điểm thỏa mãn đầu bài:

${M_9}\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),\,\,{M_{10}}\left( { - \frac{{2\sqrt 6 }}{3};\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),\,\,{M_{11}}\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}; - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right),\,\,{M_{12}}\left( { - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}; - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)$

Bài 110300

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110300

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan