Bài 109772

Question

Tìm $a$ để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng:
$x^3-(\frac{1}{2}+2a)x^2+(2a^2-2a+2)x-a^2+\frac{3}{2}a-1=0$

score 0 · Answer 1

Viết lại $(1) \Leftrightarrow (2x-1)a^2-(2x^2+2x-\frac{3}{2})a+x^3-\frac{1}{2}x^2+2x-1=0 (2)$
Gọi vế trái của $(2)$ là $Q(a)$
Phương trình $(1)$ có nghiệm không phụ thuộc vào $a \Leftrightarrow Q(a)=0 \forall a\in R$
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm $\begin{cases}2x-1=0 \\ 2x^2+2x-\frac{3}{2}=0 \\ x^3-\frac{1}{2}x^2+2x-1=0\end{cases}$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$. Vậy phương trình đặc biệt $x=\frac{1}{2}, \forall a \in R$
Dùng sơ đồ Horner

Suy ra
$(1) \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})(x^2-2ax+a^2-3a+2)=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x-\frac{1}{2}=0}\\
{x^2-2ax+2a^2-3a+2=0 (2)}
\end{array}} \right.$
Gọi $f(x)=x^2-2ax+2a^2-3a+2; \Delta'=-a^2+3a-2=(1-a)(a-2). \Delta'>0 \Leftrightarrow 1<a<2 (3)$
Thấy rằng $P=2a^2-3a+2>0, \forall a \in R \Rightarrow$. các nghiệm của $(2)$ luôn cùng dấu
Từ $(3) \Rightarrow S>1$. Bởi vậy
Phương trình $(2)$ có $3$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
$\Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có $2$ nghiệm $x_1,x_2 (x_1<x_2)$ thỏa mãn $x_2+\frac{1}{2}=2x_1$
$\Leftrightarrow 2x_2+1=4x_1 \Leftrightarrow 2(a+\sqrt{\Delta})+1=4(a-\sqrt{\Delta}) \Leftrightarrow 6\sqrt{\Delta}=2a-1 \Leftrightarrow 36\Delta=(2a-1)^2$
$\Leftrightarrow 36(-a^2+3a-2)=4a^2-4a+1 \Leftrightarrow 40a^2-112a+73=0 \Leftrightarrow a=\frac{28 \pm 3\sqrt{6}}{20}$ ( thích hợp $(3)$)
Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của $a$ là $a=\frac{28 \pm 3\sqrt{6}}{20}$

Bài 109772

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109772

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan