Bài 109493

Question

Cho lăng trụ tam giác

$ABC.A_1B_1C_1$ đáy là tam giác đều cạnh

$a$ . Các mặt bên

$ABB_1A_1,ACC_1A_1$ là hình vuông. Gọi

$I,J$ là tâm các mặt bên nói trên và

$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABC$

$a.$ Chứng minh

$IJ$ song song với mặt phẳng

$(ABC)$

$b.$ Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng

$(IJO)$ .Chứng minh thiết diện là thang cân. Tính diện tích của nó theo

$a$

score 0 · Answer 1

$a.$ Nhận xét rằng :

$\frac{IA_1}{IB}=\frac{JA_1}{JC}=1$

$\Rightarrow IJ//BC\subset (ABC)\Rightarrow IJ//(ABC)$

$b.$ Ta lần lượt có :

$\begin{cases} IJ\in (IJO) và BC\in (ABC)\\IJ//BC\\(IJO)\cap (ABC)=Ox\end{cases} \Rightarrow Ox//IJ//BC$
và

$Ox$ cắt

$AB,AC$ theo thứ tự tại

$E,F$
Nối

$EI$ cắt

$A_1B_1$ tại

$H$ và nối

$FI$ cắt

$A_1C_1$ tại

$G$ .Như vậy, thiết diện là tứ giác

$EFGH$ .
Nhận xét rằng :

$\begin{cases}(ABC)//(A_1B_1C_1)\\(IJO)\cap (ABC)=EF \\ (IJO)\cap (A_1B_1C_1)=GH\end{cases} \Rightarrow EF//GH\Rightarrow EFGH$ là hình thang
Vì

$\Delta ABC$ nên

$AA_1B_1B=AA_1C_1C$ do đó

$EH=FG$
Vậy thiết diện

$EFGH$ là hình thang cân
- Trong

$\Delta ABC$ ta có :

$\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3} \Rightarrow EF=\frac{2a}{3}$
- Trong

$\Delta A_1B_1C_1$ ta có :

$\frac{HG}{B_1C_1}=\frac{A_1H}{A_1B_1}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3} \Rightarrow HG=\frac{a}{3}$
- Trong

$\Delta IBE$ ta có :

$IE^2=BI^2+BE^2-2BI.BE.cos\widehat{IBE}$

$=(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2+(\frac{a}{3} )^2-2.\frac{a\sqrt{2} }{2} .\frac{a}{3} .cos45^0=\frac{5a^2}{18}$

$\Rightarrow IE=\frac{a\sqrt{10} }{6} \Rightarrow EH=2IE=\frac{a\sqrt{10} }{3}$

Khi đó xét hình thang cân

$EFGH$ hạ đường cao

$HM$ , ta có :

$HM=\sqrt{EH^2-ME^2} =\sqrt{EH^2-(\frac{EF-HG}{2} )^2}=\frac{a\sqrt{39} }{6}$

$S_{EFGH}=\frac{1}{2} (EF+HG).HM=\frac{1}{2} (\frac{2a}{3}+\frac{a}{3} ).\frac{a\sqrt{39} }{6}=\frac{a^2\sqrt{39} }{12}$

Bài 109493

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109493

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan