Bài 109493

Question

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$đáy là tam giác đều cạnh $a$. Các mặt bên $ABB_1A_1,ACC_1A_1$ là hình vuông. Gọi $I,J$ là tâm các mặt bên nói trên và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
$a.$ Chứng minh $IJ$ song song với mặt phẳng $(ABC)$
$b.$ Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $(IJO)$.Chứng minh thiết diện là thang cân. Tính diện tích của nó theo $a$

score 0 · Answer 1

$a.$ Nhận xét rằng :
$\frac{IA_1}{IB}=\frac{JA_1}{JC}=1 $
$\Rightarrow IJ//BC\subset (ABC)\Rightarrow IJ//(ABC)$
$b.$ Ta lần lượt có :
$\begin{cases} IJ\in (IJO) và BC\in (ABC)\\IJ//BC\\(IJO)\cap (ABC)=Ox\end{cases} \Rightarrow Ox//IJ//BC$
và $Ox$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $E,F$
Nối $EI$ cắt $A_1B_1$ tại $H$ và nối $FI$ cắt $A_1C_1$ tại $G$.Như vậy, thiết diện là tứ giác $EFGH$.
Nhận xét rằng :
$\begin{cases}(ABC)//(A_1B_1C_1)\\(IJO)\cap (ABC)=EF \\ (IJO)\cap (A_1B_1C_1)=GH\end{cases} \Rightarrow EF//GH\Rightarrow EFGH$ là hình thang
Vì $\Delta ABC$ nên $AA_1B_1B=AA_1C_1C$ do đó $EH=FG$
Vậy thiết diện $EFGH$ là hình thang cân
- Trong $\Delta ABC$ ta có :
$\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3} \Rightarrow EF=\frac{2a}{3} $
- Trong $\Delta A_1B_1C_1$ ta có :
$\frac{HG}{B_1C_1}=\frac{A_1H}{A_1B_1}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{3} \Rightarrow HG=\frac{a}{3} $
- Trong $\Delta IBE$ ta có :
$IE^2=BI^2+BE^2-2BI.BE.cos\widehat{IBE} $
$=(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2+(\frac{a}{3} )^2-2.\frac{a\sqrt{2} }{2} .\frac{a}{3} .cos45^0=\frac{5a^2}{18} $
$\Rightarrow IE=\frac{a\sqrt{10} }{6} \Rightarrow EH=2IE=\frac{a\sqrt{10} }{3} $

Khi đó xét hình thang cân $EFGH$ hạ đường cao $HM$, ta có :
$HM=\sqrt{EH^2-ME^2} =\sqrt{EH^2-(\frac{EF-HG}{2} )^2}=\frac{a\sqrt{39} }{6} $
$S_{EFGH}=\frac{1}{2} (EF+HG).HM=\frac{1}{2} (\frac{2a}{3}+\frac{a}{3} ).\frac{a\sqrt{39} }{6}=\frac{a^2\sqrt{39} }{12} $

Bài 109493

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109493

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan