Bài 109414

Question

Cho $a^3 > \sqrt{17}$ và $abc=\frac{1}{9} (1)$
Chứng minh $\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca (2)$

score 0 · Answer 1

Từ $(1)\Rightarrow \begin{cases}a>0 \\ 36abc=4<\sqrt{17}<a^3 \Rightarrow 36abc-a^3<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a>0 \\ 36bc-a^2<0 \end{cases} (3)$
Viết lại $(2) \Leftrightarrow \frac{a^2}{3}+(b+c)^2>3bc+a(b+c) \Leftrightarrow (b+c)^2-a(b+c)+\frac{a^2}{2}-3bc>0 (4)$
Xem vế trái $(3)$ là tam thức bậc hai của $(b+c), \Delta=a^2-4(\frac{a^2}{3}-3bc)=\frac{1}{3}(36bc-a^2)$
Từ $(3) \Leftrightarrow \Delta<0$ nên $(4)$ đúng. Suy ra $(2)$ được chứng minh.

Bài 109414

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109414

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan