Bài 109369

Question

Cho ba điểm $A(0;a), B(b;0), C(-b;0)$ với $a,b>0$
a. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với $AB$ tại $B$ và tiếp xúc với $AC$ tại $C$
b. Gọi $M$ là điểm bất kỳ trên đường tròn ở phần 1. Gọi $d_1, d_2, d_3$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ tới đường thẳng $AB, AC, BC$. Chứng minh $d_1.d_2=d_3^2$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/22/2012 11:40:10 AM

a. Giả sử phương trình đường tròn $(C)$ có dạng: $(C):(x-\alpha )^2+(y- \beta )^2$
Vì $AB, AC $ đối xứng nhau qua $Oy\Rightarrow $ tâm $I(\Rightarrow ; \beta )\in Oy\Rightarrow \alpha =0$
$(C)$ tiếp xúc với $AB$ tại $B\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{AB=0} \\ R=IB \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \beta =-\frac{b^2}{a} \\ R=\sqrt{b^2+ \beta^2 } \end{array} \right. $
Vậy phương trình đường tròn $(C) x^2+(y+\frac{b^2}{a} )^2=b^2+\frac{b^4}{a^2} $

b. Phương trình đường thẳng $AB$ được cho bởi (phương trình đoạn chắn): $(AB): \frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\Leftrightarrow (AB):ax+by-ab=0 $
Phương trình đường thẳng $AC$ được cho bởi (phương trình đoạn chắn): $(AC): \frac{x}{-b}+\frac{y}{a}=1\Leftrightarrow (AC):ax-by+ab=0 $

Lấy điểm $M(x_0, y_0)\in (C)$
$\Rightarrow x_0^2+(y_0+\frac{b^2}{a} )^2=b^2+\frac{b^4}{a^2}\Leftrightarrow x_0^2+y_0^2+2 \frac{b^2}{a}y_0-b^2=0   (1)$
Khoảng cách $d_1,d_2, d_3$ từ $M$ tới các đường thẳng $AB, AC, BC$ được cho bởi:
$d_1=\frac{ax_0+by_0-ab}{\sqrt{a^2+b^2} } ; d_2=\frac{ax_0-by_0+ab}{\sqrt{a^2+b^2} }; d_3=y_0$
Khi đó: $d_1.d_2=\frac{|a^2x+-^2-(by_0-ab)^2|}{a^2+b^2} =\frac{|a^2x_0^2-b^2y_0^2+2ab^2y_0-a^2b^2|}{a^2+b^2}     (2)$
Nhân hai vế của $(1)$ với $a^2\neq 0$, ta được:
$a^2x_0^2+a^2y_0^2+2ab^2y_0-a^2b^2=0\Leftrightarrow a^2x_0^2+2ab^2y_0-a^2b^2=-a^2y_0^2      (3)$
Thay $(3)$ vào $(2)$ ta được: $d_1.d_2=y_0^2=d_3^2   $      (đpcm)

Bài 109369

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109369

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan