Bài 109315

Question

Cho họ đường cong: $(C_m):x^2+y^2-(m+6)x-2(m-1)y+m+10=0 (1)$
a. Tìm $m$ để $(C_m)$ là một họ đường tròn. Tìm quỹ tích tâm $I_m$
b. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn $(C_m)$
c. Chứng minh rằng các đường tròn của họ $(C_m)$ luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/22/2012 9:03:14 AM

a. Ta có: $a^2+b^2-c=\frac{(m+6)^2}{4} +(m-1)^2-m-10=\frac{5m^2}{4}\geq 0 , \forall m$
Vậy với mọi giá trị của $m$ phương trình $(1)$ là phương trình của một đường tròn, có tâm $I_m(\frac{m+6}{2};m-1 )$ bán kính $R=\frac{\sqrt{5}|m| }{2} $
Quĩ tích tâm $I_m:\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{m+6}{2} \\ y=m-1 \end{array} \right.   (I)$
Khử $m$ từ hệ $(I)$, ta được $(d):2x-y-7=0$
Vậy tâm $I_m$ của họ $(C_m)$ thuộc đường thẳng $(d): 2x-y-7=0$

b. Giả sử $M(x;y)$ thuộc trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn $(C_m)$
$\Leftrightarrow P_{M/(C_{m_1})}=P_{M/(C_{m_2})},      \forall m, m_2$ và $m_1 \neq m_2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2-(m_1+6)x-2(m_1-1)y+m_1+10$
$=x^2+y^2-(m_2+6)x-2(m_2-1)y+m_2+10$
$\Leftrightarrow (m_1-m_2)(x+2y-1)=0         \forall m_1, m_2$ và $m_1 \neq m_2$
$\Leftrightarrow x+2y-1=0$
Vậy, đường thẳng $x+2y-1=0$ là trục đẳng phương cho tất cả các đường tròn của họ $(C_m)$

c. Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm cố định mà họ $(C_m)$ luôn đi qua.
$\Leftrightarrow x^2+y^2-(m-6)x-2(m-1)y+m+10=0,         \forall m$
$\Leftrightarrow m(-x-2y+1)+x^2+y^2-6x+2y+10=0,          \forall m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -x-2y+1=0\\ x^2+y^2-6x+2y+10=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow M(3;-1)$
Vậy các đường tròn của họ $(C_m)$ luôn tiếp xúc với nhau tại điểm cố định $M(3;-1)$

Bài 109315

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109315

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan