Bài 109227

Question

1) Chứng minh rằng hai phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cx^{2}+bx+a=0$ có một nghiệm chung duy nhất khi và chỉ khi $|b|=|a+c|$
2) Với giá trị nào của $k$ thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó
$3x^{2}+(5k+1)x+1=0 (1)$
$x^{2}+(2k-3)x+4=0 (2)$

score 0 · Answer 1

1) Chứng minh rằng $ax^{2}+bx+c=0$ và $cx^{2}+bx+a=0$ có nghiệm chung duy nhất $\Leftrightarrow |b|=|a+c|$. Ta chứng minh hai phần
- Nếu $ax^{2}+bx+c=0 (1)$ và $cx^{2}+bx+a=0 (2)$ có nghiệm chung $\Rightarrow |b|=|a+c|$
Giả sử $x_{0}$ là nghiệm chung của hai phương trình, vậy ta có
$ax_{0}^{2}+bx_{0}+c=cx_{0}^{2}+bx_{0}+a\Leftrightarrow (a-c)x_{0}^{2}=a-c$
$\Leftrightarrow x_{0}^{2}=\frac{a-c}{a-c}=1 (a-c\neq 0$ vì nếu $a-c=0\Rightarrow a=c$ thì hai phương trình trên có quá 1 nghiệm chung
$\Leftrightarrow x_{0}=\pm1$
* Nếu $x_{0}=1$ ta có $a+b+c=0\Rightarrow b=-(a+c)$
* Nếu $x_{0}=-1$ ta có $a-b+c=0\Rightarrow b=a+c$
Do đó $|b|=|a+c|$
- Nếu $|b|=|a+c|$ thì phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ và $cx^{2}+bx+a=0 $ có nghiệm chung duy nhất
Thật vậy nếu $b=-(a+c)$ thì phương trình (1) và (2) có dạng
$ax^{2}-(a+c)x+c=0$ có nghiệm $x_{1}=1, x^{'}_{2}=\frac{c}{a}$
$cx^{2}-(a+c)x+a=0$ có nghiệm $x_{1}=1, x_{2}=\frac{a}{c}$
Vậy hai phương trình (1) và (2) có một nghiệm chung duy nhất $x=1(x_{2}^{'}\neq x_{2}$ vì $\frac{c}{a}\neq \frac{a}{c}$)
Với $b=(a+c)$ chứng minh tương tự
2) Gọi $x_{0}$ là nghiệm chung của phương trình (1) và (2) ta có
$\left\{ \begin{array}{l} 3x_{0}^{2}+(5k+1)x_{0}+1=0\\ 3x_{0}^{2}+3(2k-3)x_{0}+12=0 \end{array} \right.\Rightarrow x_{0}=\frac{11}{10-k}$
Thay vào (2) ta có
$(\frac{11}{10-k})^{2}+(2k-3)\frac{11}{10-k}+4=0\Leftrightarrow -18k^{2}+173k+191=0$
$\Leftrightarrow k_{1}=1, k_{2}=-\frac{191}{18}$
-Với $k=1\Rightarrow x_{0}=\frac{11}{9}$
-Với $k=-\frac{191}{18}\Rightarrow x_{0}=\frac{11.18}{371}=\frac{198}{371}$

Bài 109227

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109227

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan