Bài 109788

Question

Giải phương trình : $x^2=2+\sqrt{2-x} (1) $

score 1 · Answer 1

Điều kiện: $\begin{cases}2-x \geq 0 \\ x^2\geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{} x\leq -\sqrt2\\ \sqrt2\leq x<2 \end{array}} \right.   (2)$
* $x_0$ là nghiệm của phương trình $\Leftrightarrow x_0^2=2+\sqrt{2-x_0} \Leftrightarrow (x_0^2-2)^2=2-x_0$
$\Rightarrow 2$ là nghiệm của phương trình sau với ẩn là $a: (x_0^2-a)^2=a-x_0$
$\Leftrightarrow x_0^4-2x_0^2+a^2=a-x_0 \Leftrightarrow a^2-(2x_0^2+1)+x_0^2+x_0=0     (3)$
Ta có: $(\Delta)=(2x_0^2+1)^2-4(x_0^4+x_0)=(2x_0-1)^2 \geq 0, \forall x_0$ suy ra:
$(3) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{}
{a_1=\frac{2x_0^2+1+2x_0-1}{2}=x_0^2+x_0}\\
{a_2=\frac{2x_0^2+1-2x_0+1}{2}=x_0^2+x_0+1}
\end{array}} \right.$
Với $a_1=2$ có $x_0^2+x_0=2 \Leftrightarrow x_0^2+x-0-2=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{}
{x=1   ( loại do (2)}\\
{x=-2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow x=-2   (4)$
Với $a_2=2$ có $x_0^2+x_0+1=2 \Leftrightarrow x_0^2+x_0-1=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{}
{x=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\\
{x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}}
\end{array}} \right.$
$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}   (5)$
Từ $(4),(5)$ kết luận phương trình có hai nghiệm là $x=-2$ và $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Bài 109788

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109788

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan