Bài 108854

Question

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình :

$(d): \begin{cases}x-z=0 \\ y=0 \end{cases}$
1. Với mỗi điểm

$M_o(x_o; y_o; z_o)$ hãy viết phương trình

$(P_o)$ đi qua điểm

$M_o$ và vuông góc với (d)
2. Tọa độ giao điểm

$H_o$ của

$(P_o)$ với (d) và tính khoảng cách

$M_oH_o$
3. Chứng minh rằng quỹ tích các điểm trong mặt phẳng xOy mà khoảng cách đến (d) bằng 2 là một Elip. Xác định tọa độ các tiêu điểm của nó

score 0 · Answer 1

1. Gọi

$\overrightarrow{a}$ là vtcp của (d), ta có

$\overrightarrow{a}(1; 0; 1)$
Mặt phẳng

$(P_o)$ đi qua điểm

$M_o$ và vuông góc với (d), vậy:

$(P_o): \begin{cases}qua M_o(x_o, y_o; z_o) \\ vtpt \overrightarrow{a}(1; 0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow (P_o): x-x_o+z-z_o=0$

$\Leftrightarrow (P_o): x+z-x_o-z_o=0$
2. Tọa độ điểm

$H_o$ của

$(P_o)$ với (d) là nghiệm hệ phương trình :

$\begin{cases}x+z-x_o-z_o=0 \\ x-z=0\\y=0 \end{cases} \Rightarrow H_o(\frac{x_o+z_o}{2}; 0; \frac{x_o+z_o}{2})$
Tính khoảng cách

$M_oH_o$

$M_oH_o=\sqrt{(\frac{x_o+z_o}{2}-x_o)^2+y_o^2+(\frac{x_o+z_o}{2}-z_o)^2}=\sqrt{\frac{(x_o-z_o)^2}{2}+y_o^2}$
3. Vì

$M\in (xOy) \Rightarrow M(x, y, 0)$
Khi đó, với giả thiết

$d(M, (d))=2$ , ta có:

$\sqrt{\frac{x^2}{2}+y^2 }=2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
Vậy quỹ tích các điểm trong mặt phẳng (xOy) mà khoảng cách đến (d) bằng 2 là một Elip (E):

$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ với các tiêu điểm

$F_1(-2; 0) ; F_2(2; 0)$

Bài 108854

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108854

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan