Bài 100661

Question

Trong hệ tọa độ trực chuẩn $Oxy$, cho $2$ đường tròn $(C_1): x^2 + y^2 – 10x = 0$ ; $(C_2): x^2 + y^2 + 4x – 2y – 20 = 0$. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của $(C_1)$ với $(C_2)$ và có tâm nằm trên đường thẳng $(Δ): x + 6y – 6 = 0$.

score 0 · Answer 1

Tọa độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của hệ:
$ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 10x = 0\\
{x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 20 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 10x = 0\\
14x - 2y - 20 = 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 2 = 0\\
y = 7x - 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 ;\,\,y = - 3\\
x = 2;\,\,y = 4\,
\end{array} \right. $

Vậy (C1) cắt (C2) tại hai điểm phân biệt A(1; –3), B(2;4)

Cách 1:
Gọi phương trình của (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $ {x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0 $
Vì (C) đi qua A(1; –3), B(2;4) và có tâm I(a;b) thuộc (Δ): x + 6y – 6 = 0 nên ta có hệ
$ \left\{ \begin{array}{l}
2a - 6b + c = - 10\\
4a + 8b + c = - 20\\
- a - 6b = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 12\\
b = 1\\
c = 20
\end{array} \right. $
Khi đó $a^2 + b^2 – c = 122 + 22 – 20 > 0$. Vậy phương trình (C): $ {x^2} + {y^2} - 24x + 2y + 20 = 0 $

Cách 2: Gọi (C) là đường tròn tâm I đi qua các giao điểm của (C1) với (C2) và có tâm nằm trên đường thẳng (Δ): x + 6y – 6 = 0.
Khi đó tâm I là giao điểm giữa (Δ) với đường trung trực (d) của AB. Đường trung
trực (d) đi qua trung điểm $ M\left( {{\textstyle{3 \over 2}};{\textstyle{1 \over 2}}} \right) $ của AB và nhận $ \overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right) $ làm vectơ pháp tuyến nên (d) có phương trình:
$ 1\left( {x - {\textstyle{3 \over 2}}} \right) + 7\left( {y - {\textstyle{1 \over 2}}} \right) = 0 \Leftrightarrow $ x + 7y – 5 = 0.
Khi đó tâm I của đường tròn (C) là nghiệm của hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}
x + 7y - 5 = 0\\
x + 6y - 6 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {12; - 1} \right) $
Bán kính của (C) là $ R = {\rm I}A = \sqrt {121 + 4} = 5\sqrt 5 $ và phương trình của (C) là: $ {\left( {x - 12} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 125 $

Bài 100661

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100661

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan