a) Gọi phương trình đường tròn tổng quát cần tìm là : $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$
- Đường tròn đi qua điểm $A(1;2)$:
$1^2+2^2-2a-4b+c=0 \Leftrightarrow 2a+4b-c=5$
- Đường tròn đi qua điểm $B(5;2)$:
$5^2+2^2-10a-4b+c=0 \Leftrightarrow 10a+4b-c=29$
- Đường tròn đi qua điểm $C(1;-3)$:
$1^2+(-3)^2-2a+6b+c=0 \Leftrightarrow 2a-6b-c=10$
Để tìm $a,b,c$ ta giải hệ: $\begin{cases}2a+4b-c=5 (1)\\ 10a+4b-c=29 (2)\\ 2a-6b-c=10 (3)\end{cases} $
Lấy $(2)$ trừ cho $(1)$ ta được phương trình : $8a=24 \Rightarrow a=3.$
Lấy $(3)$ trừ cho $(1)$ ta được phương trình: $-10b=5 \Rightarrow b=-\frac{1}{2} $.
Thế $a=3, b=-\frac{1}{2} $ vào $(1)$ ta tính ra $c=-1$.
Ta được phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A, B, C$ là:
$x^2+y^2-6x+y-1=0.$
Chú ý: Tâm $(x;y)$ của đường tròn đi qua ba điểm $A, B, C$ là điểm cách đều ba điểm ấy, hay:
$IA=IB=IC \Rightarrow IA^2=IB^2=IC^2$.
Từ đây suy ra $x,y$ là nghiệm của hệ
$\begin{cases}(x-1)^2+(y-2)^2=(x-5)^2+(y-2)^2 \\ (x-1)^2+(y-2)^2=(x-1)^2+(y+3)^2 \end{cases} $
$\Leftrightarrow I(3; -\frac{1}{2} )$
Từ đây ta tìm được $R$ và viết được phương trình đường tròn như trên.
b) Tương tự như trên ta tính được $I(2;1), R=5$.
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $M(-2;4), N(5;5), P(6;-2)$ là:
$(x-2)^2+(y-1)^2=25 \Leftrightarrow x^2+y^2-4x-2y-20=0$.