|
|
Cách $1:$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau :
$\sqrt{(x+\frac{y}{2} )^2+(\frac{\sqrt{3} }{2}y )^2}+\sqrt{(x+\frac{z}{2} )^2+(\frac{\sqrt{3} }{2}z )^2} \geq \sqrt{(\frac{y}{2}-\frac{z}{2} )^2+(\frac{\sqrt{3} }{2}y -\frac{\sqrt{3} }{2}z )^2} (1)$
Trên mặt phẳng tọa độ xét ba điểm :
$A(x+\frac{y}{2};\frac{\sqrt{3} }{2}z ),B(0;\frac{\sqrt{3} }{2}y +\frac{\sqrt{3} }{2}z ),C(\frac{y}{2} -\frac{z}{2} ;0)$
Khi đó dễ thấy $(1)\Leftrightarrow CA+AB\geq CB (2)$
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow $các véctơ $\overrightarrow {CA},\overrightarrow {AB} $ cùng phương, cùng hướng
Ta có : $\overrightarrow {CA} =(x+\frac{z}{2};\frac{\sqrt{3} }{2}z )$ còn $\overrightarrow {AB} =(-x-\frac{y}{2};\frac{\sqrt{3} }{2}y )$
Vậy để có dấu đẳng thức, ta cần có : $\begin{cases}x+\frac{z}{2} =k(-x-\frac{y}{2} ) (3) \\ \frac{\sqrt{3} }{2}z =k\frac{\sqrt{3} }{2}y (4) \end{cases} $ Với $k\geq 0$
Ta có : $(3), (4)$ $\Leftrightarrow \begin{cases}z=ky \\ x+\frac{ky}{2} =-kx-\frac{ky}{2}\\k\geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}z=ky \\ x(1+k)=-ky\\k\geq 0 \end{cases} $
Vậy có dâu bằng xảy ra điều kiện cần và đủ là : $\begin{cases}x=-\frac{k}{1+k}y (5)\\ z=ky (6)\end{cases} $
Với $y$ tùy ý và $k\geq 0$ tùy ý.
Cách $2 :$
Đặt : $\overrightarrow {u}(x+\frac{y}{2} ;\frac{\sqrt{3} }{2}y ) ;\overrightarrow {v}(-x-\frac{z}{2};\frac{\sqrt{3} }{2} z ) $
Ta luôn có : $|\overrightarrow {u} |+|\overrightarrow {v} |\geq |\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v} |$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow {u},\overrightarrow {v} $ cùng hướng
Chú ý : Với $\forall x,y,z>0$ thì $(5),(6)$ không thể thỏa mãn, tức là nói riêng $\forall x,y,z>0$ ta luôn có :
$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}> \sqrt{y^2+yz+z^2} $
|