|
|
Cách 1:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau :
√(x+y2)2+(√32y)2+√(x+z2)2+(√32z)2≥√(y2−z2)2+(√32y−√32z)2(1)
Trên mặt phẳng tọa độ xét ba điểm :
A(x+y2;√32z),B(0;√32y+√32z),C(y2−z2;0)
Khi đó dễ thấy (1)⇔CA+AB≥CB(2)
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔các véctơ →CA,→AB cùng phương, cùng hướng
Ta có : →CA=(x+z2;√32z) còn →AB=(−x−y2;√32y)
Vậy để có dấu đẳng thức, ta cần có : {x+z2=k(−x−y2)(3)√32z=k√32y(4) Với k≥0
Ta có : (3),(4) ⇔{z=kyx+ky2=−kx−ky2k≥0⇔{z=kyx(1+k)=−kyk≥0
Vậy có dâu bằng xảy ra điều kiện cần và đủ là : {x=−k1+ky(5)z=ky(6)
Với y tùy ý và k≥0 tùy ý.
Cách 2:
Đặt : →u(x+y2;√32y);→v(−x−z2;√32z)
Ta luôn có : |→u|+|→v|≥|→u+→v|
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi →u,→v cùng hướng
Chú ý : Với ∀x,y,z>0 thì (5),(6) không thể thỏa mãn, tức là nói riêng ∀x,y,z>0 ta luôn có :
√x2+xy+y2+√x2+xz+z2>√y2+yz+z2
|