Bài 108114

Question

Cho $n$ bộ $(A_i, m_i)$ với $i=1,2,...,n$, trong đó $A_i$ là các điểm trong không gian, còn $m_i$ là những số thực dương. Ta nói trọng tâm của hệ $n$ bộ $(A_i, m_i)$ là một điểm $T$ sao cho:
$m_1 \overrightarrow{TA_1}+m_2 \overrightarrow{TA_2}+...+m_n \overrightarrow{TA_n}=0 $
Chứng minh rằng với mọi $n$ bộ như đã nói trên, trọng tâm luôn luôn tồn tại và duy nhất.

phuongna · Answer 1 · 6/14/2012 2:28:15 PM

Ở đây giả sử $m_1+m_2+...+m_n \ne 0 $.

Sự tồn tại
Chọn $O$ là điểm cố định nào đó, dễ thấy:
   $m_1 \overrightarrow{TA_1}+m_2 \overrightarrow{TA_2}+...+m_n \overrightarrow{TA_n}=\overrightarrow{0}     (1)$
$\Leftrightarrow m _1\left ( \overrightarrow{TO}+ \overrightarrow{OA_1}\right )+ m _2\left ( \overrightarrow{TO}+ \overrightarrow{OA_2}\right )+...+ m _n\left ( \overrightarrow{TO}+ \overrightarrow{OA_n}\right )=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \left (m_1+m_2+...+m_n \right )\overrightarrow{TO}+m_1 \overrightarrow{OA_1}+m_2 \overrightarrow{OA_2}+...+m_n \overrightarrow{OA_n}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OT}=\frac{m_1 \overrightarrow{OA_1}+m_2 \overrightarrow{OA_2}+...+m_n \overrightarrow{OA_n}}{m_1+m_2+...+m_n} $

Như thế, điểm $T$ được xác định theo công thức trên khi cho trước một điểm $O$ cố định.

Tính duy nhất
Giả sử một điểm $N$ khác cũng thỏa mãn
    $m_1 \overrightarrow{NA_1}+m_2 \overrightarrow{NA_2}+...+m_n \overrightarrow{NA_n}=\overrightarrow{0}         (2)$
Trừ theo từng vế của $(1)$ và $(2)$ ra được :
      $m_1\left ( \overrightarrow{TA_1}-\overrightarrow{NA_1} \right )+m_2\left ( \overrightarrow{TA_2}-\overrightarrow{NA_2} \right )+...+m_n\left ( \overrightarrow{TA_n}-\overrightarrow{NA_n} \right )=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \left (m_1+m_2+...+m_n \right ) \overrightarrow{TN}= \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{TN} = \overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow T \equiv N$.
Như vậy, điểm $T$ tồn tại duy nhất.

Bài 108114

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108114

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan