Bài 108078

Question

Lập phương trình đường thẳng $d $ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $d_1 :2x-y+1=0; d_2 :x-2y-3=0$ đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau.

score 0 · Answer 1

Đường thẳng $d$ thuộc chùm đường thẳng đi qua giao điểm của $d_1;d_2$ nên $d$ có dạng :
$\alpha(2x-y+1)+\beta(x-2y-3)=0$ với $\alpha^2+\beta^2>0        (1)$
Xét hai khả năng :
- Nếu $\alpha=0$ (khi đó $\beta\neq 0$) thì từ $(1)$ ta có :
$\beta(x-2y-3)=0\Rightarrow x-2y-3=0    (2)$
Đường thẳng $x-2y-3=0$.Rõ ràng đường thẳng này không chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau.Vậy loại trường hợp này.
- Nếu $\alpha\neq 0$, khi đó $(1)$ có dạng : $2x-y+1+\beta(x-2y-3)=0        (3)$
(Thực ra là $2x-y+1+\frac{\beta}{\alpha} (x-2y-3)=0$ nhưng có thể coi $\frac{\beta}{\alpha} $ như $\beta$)
Dưới dạng $(3)$ ta có thể viết thành : $(2+\beta)x-(1+2\beta)y+1-3\beta=0$
Từ đó nó cắt trục hoành tại điểm $A(\frac{3\beta-1}{2+\beta};0 )$ và cắt trục tung tại $B(0;\frac{1-3\beta}{1+2\beta} )$
theo bài ra ta có :
$|\frac{3\beta-1}{2+\beta} |=|\frac{1-3\beta }{1+2\beta } |\Leftrightarrow (\frac{3\beta -1}{2+\beta } )^2-(\frac{1-3\beta }{1+2\beta } )^2=0$
$\Leftrightarrow (\frac{3\beta -1}{2+\beta } +\frac{1-3\beta }{1+2\beta } )(\frac{3\beta -1}{2+\beta }-\frac{1-3\beta }{1+2\beta } )=0$
$\Leftrightarrow \frac{(3\beta -1)^2(\beta -1)(3+3\beta )}{(2+\beta )(1+\beta )} =0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\beta =\frac{1}{3} \\\beta =1\\\beta =-1\end{array} \right. $
Vậy khi $\beta =\frac{1}{3} $ thì $d: 7x-5y=0$
khi $\beta =1$ thì $d :3x-3y-2=0; \beta =-1$ thì $d: x+y+4=0$

Cách $2:$
ta có: $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm $M(-\frac{5}{3};-\frac{7}{3})$
Đường thẳng $d$ chắn trên $2$ trục tọa độ những đoạn bằng nhau khi và chỉ khi: $d$ có dạng $x-y=k$ hoặc $x+y=k$ hoặc $d$ qua $O$
$ \Leftrightarrow d$ có dạng: $\left[ \begin{array}{l}7x-5y=0 \\\ x-y=\frac{2}{3}\\x+y=-4\end{array} \right. $

Bài 108078

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108078

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan