Bài 107946

Question

Cho $(P): y^2=8x, I(2;4)$. Xét góc vuông quay quanh $I$ và hai cạnh góc vuông cắt $(P)$ tại $M,N$. Chứng minh đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Gọi $M(\frac{m^2}{8};m )\in (P)$ và $N(\frac{n^2}{8} )\in (P)$.Với $m,n\neq 4, m\neq n$
$\Delta IMN$ vuông tại $I\Leftrightarrow \overrightarrow {IM}.\overrightarrow {IN}=0 $
$\Leftrightarrow (\frac{m^2}{8}-2 )(\frac{n^2}{8}-2 ) +(m-4)(n-4)=0$
$\Leftrightarrow (m-4)(n-4)[80+mn+4(m+n)]=0\Leftrightarrow 80+4(m+n)+mn=0 (*)$
Phương trình đường thẳng của $MN$ là:
$\frac{x-\frac{m^2}{16} }{\frac{n^2}{8} -\frac{m^2}{8} } =\frac{y-m}{n-m} $
$\Leftrightarrow (n-m)(x-\frac{m^2}{8} )=\frac{1}{8} (n^2-m^2)(y-m)$
$\Leftrightarrow 8(n-m)x+(m^2-n^2)y+nm(n-m)=0$
$\Leftrightarrow 8x-(m-n)y+nm=0 (**)$
Xét biếu thức $(*)$ và phường trình $(**)$ chọn $x_1=10$ và $y_1=-4$ thì tọa độ điểm $I$ nghiệm đúng phương trình $(**)$
Vậy $MN$ luôn đi qua điểm cố định $I(10;-4)$

Bài 107946

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107946

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan