Bài 107883

Question

Cho hypebol $(H) : \frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{5} =1$ và đường thẳng $\Delta : x-y+m=0$
$a.$ Chứng minh rằng $\Delta $ luôn cắt $(H)$ tại hai điểm $M,N$ thuộc hai nhánh khác nhau của $(H) (x_M<x_N)$
$b.$ Gọi $F_1$ là tiêu điểm trái và $F_2$ là tiêu điểm phải của $(H)$. Xác định $m$ để $F_2N=2F_1M$

score 0 · Answer 1

$a. (H) : \frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{5} =1\Leftrightarrow 5x^2-4y^2-20=0$
$a^2=4\Rightarrow a=2; b^2=5\Rightarrow b=\sqrt{5};c^2=a^2+b^2=9\Rightarrow c=3 $
$(H)$ có các tiêu điểm : $F_1(-3;0);F_2(3;0) (H)$ có hai nhánh : nhánh trái ứng với $x\leq -2$, nhánh phải ứng với $x\geq 2$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(H)$ và $\Delta $là :
$5x^2-4(x+m)^2-20=0$ hay $x^2-8mx-4(m^2+5)=0         (1)$
Phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi $m$.Do đó $\Delta $ luôn cắt $(H)$ tại hai điểm $M,N$ thuộc hai nhánh khác nhau.Theo giả thiết $x_M<x_N$ nên $M$ thuộc nhánh trái, $N$ thuộc nhánh phải
$b. F_2N=|a-\frac{c}{a} x_N|=|2-\frac{3}{2}x_N |=\frac{3}{2}x_N-2 $ (do $x_N\geq 2$)
$F_1M=|a+\frac{c}{a}x_M |=|2+\frac{3}{2}x_M |=-\frac{3}{2} x_M-2$ (do $x_M\leq -2$)
$F_2N=2F_1M \Leftrightarrow \frac{3}{2} x_N-2=2(-\frac{3}{2}x_M-2 )\Leftrightarrow 3x_N+6x_M+4=0   (2)$
$x_M,x_N$ là nghiệm của $(1)$ nên : $\begin{cases}x_M+x_N=8m            (3)\\ x_M.x_N=-4(m^2+5)    (4)\end{cases} $
Giải $(2), (3)$ ta được : $x_M=-\frac{4}{3} -8m,x_N=\frac{4}{3} +16m$.Thay $x_M,x_N$ vào $(4)$ ta có :
$(-\frac{4}{3}-8m )(\frac{4}{3} +16m)=-4(m^2+5)\Leftrightarrow 63m^2+18m-14=0$
$\Leftrightarrow m=\frac{-9\pm 3\sqrt{317} }{21} =\frac{-3\pm \sqrt{317} }{21} $
Vậy với $m=\frac{-3\pm \sqrt{317} }{21} $ thì $F_2N=2F_1M$

Bài 107883

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107883

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan