Bài 107863

Question

Trong mặt phẳng

$Oxy$ cho điểm

$F(0;4)$ và đường thẳng

$d : 4y-9=0$ .

$a.$ Chứng minh rằng tập hợp các điểm

$M$ có tỉ số các khoảng cách từ đó đến

$F$ và khoảng cách từ đó đến

$d$ bằng

$\frac{4}{3}$ là một hypebol

$(H)$

$b.$ Chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ một điểm

$N$ trên

$(H)$ đến hai đường tiệm cận của nó là một hằng số.

score 0 · Answer 1

$a.$ Giả sử

$M(x;y)$ là điểm bất kì.
Ta có

$FM=\frac{4}{3} d(M,d)\Leftrightarrow 3\sqrt{x^2+(y-4)^2}=4\frac{|4y-9|}{4}$

$\Leftrightarrow 7y^2-9x^2=63\Leftrightarrow \frac{y^2}{9} -\frac{x^2}{7} =1$
Vậy quỹ tích các điểm

$M$ là một hypebol

$(H):\frac{y^2}{9} -\frac{x^2}{7} =1$

$b.$ từ phương trình của

$(H)$ suy ra :
Hai tiệm cận

$\Delta _1: 3x+\sqrt{7}y=0; \Delta _2 :3x-\sqrt{7}y=0$
Gọi

$N(x_0;y_0)\in (H),$ ta có :

$\frac{y_0^2}{9}-\frac{x_0^2}{7} =1\Leftrightarrow 7y_0^2-9x_0^2=63$
Gọi

$d_1,d_2$ là các khoảng cách từ

$N$ đến

$\Delta _1, \Delta _2$

$d_1.d_2=\frac{|3x_0+\sqrt{7}y_0 |}{4} .\frac{|3x_0-\sqrt{7}y_0 |}{4} =\frac{|9x_0^2-7y_0^2|}{16} =\frac{63}{16}$ (đpcm)

1 Đáp án