Bài 107848

Question

Cho $(H) : \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} =1$
Giả sử $M(x_0;y_0)$ là một điểm di động trên $(H)$. Qua $M$ ta lần lượt kẻ các đường thẳng $d_1;d_2$ song song với các tiệm cận xiên của $(H)$. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành tạo bởi $d_1;d_2$ và hai đường tiệm cận xiên của $(H)$ là luôn luôn không đổi. Tính lượng không đổi đó.

score 0 · Answer 1

- vì $d_1//\Delta _1$ nên hệ số của $d_1$ là $\frac{b}{a} $
phương trình của đường thẳng $d_1$ là $y=\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0 $
Tọa độ $(x_B;y_B)$ của $B$ thỏa mãn hệ :
$\begin{cases}y_B=-\frac{b}{a}x_B \\ y_B=-\frac{b}{a}x_B-\frac{(bx_0+ay_0)}{a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_B=\frac{bx_0-ay_0}{2b} \\ y_B=-\frac{bx_0-ay_0}{2a} \end{cases} $
$\Rightarrow OB^2=\frac{(bx_0-ay_0)^2}{4} .\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} \Rightarrow OB=\frac{|bx_0-ay_0|\sqrt{a^2+b^2} }{2ab} $
- Vì $d_2//\Delta _2$ nên hệ số góc của $d_2$ là $-\frac{b}{a} $ và phương trình $d_2$ là :
$y=-\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0 $
Tọa độ $(x_A;y_A)$ của $A$ thỏa mãn hệ :
$\begin{cases}y_A=-\frac{b}{a}x_A \\ y_A=\frac{b}{a} x_A+\frac{(bx_0-ay_0)}{a} \end{cases} \begin{cases}x_A=\frac{bx_0-ay_0}{2b} \\ y_A=-\frac{bx_0+ay_0}{2a} \end{cases} $
$\Rightarrow OA=\frac{|bx_0+ay_0|\sqrt{a^2+b^2} }{2ab} $
- $S_{OAMB}=2S_{OAB}=OA.OB.sin2\alpha$ (với $\alpha=\widehat{AOx}$)
Dễ dàng chứng minh được, $sin2\alpha=\frac{2ab}{a^2+b^2} $
Do đó : $S_{OAMB}=\frac{|b^2x_0^2-a^2y_0^2|(\sqrt{a^2+b^2} )}{4a^2b^2} .\frac{2ab}{a^2+b^2} =\frac{a^2b^2|\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2} |}{2ab} =\frac{ab}{2} $
Vậy $S_{OAMB}$ là không đổi (đpcm)

Bài 107848

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107848

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan