Bài 107848

Question

Cho

$(H) : \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} =1$
Giả sử

$M(x_0;y_0)$ là một điểm di động trên

$(H)$ . Qua

$M$ ta lần lượt kẻ các đường thẳng

$d_1;d_2$ song song với các tiệm cận xiên của

$(H)$ . Chứng minh rằng diện tích hình bình hành tạo bởi

$d_1;d_2$ và hai đường tiệm cận xiên của

$(H)$ là luôn luôn không đổi. Tính lượng không đổi đó.

score 0 · Answer 1

- vì

$d_1//\Delta _1$ nên hệ số của

$d_1$ là

$\frac{b}{a}$
phương trình của đường thẳng

$d_1$ là

$y=\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0$
Tọa độ

$(x_B;y_B)$ của

$B$ thỏa mãn hệ :

$\begin{cases}y_B=-\frac{b}{a}x_B \\ y_B=-\frac{b}{a}x_B-\frac{(bx_0+ay_0)}{a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_B=\frac{bx_0-ay_0}{2b} \\ y_B=-\frac{bx_0-ay_0}{2a} \end{cases}$

$\Rightarrow OB^2=\frac{(bx_0-ay_0)^2}{4} .\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} \Rightarrow OB=\frac{|bx_0-ay_0|\sqrt{a^2+b^2} }{2ab}$
- Vì

$d_2//\Delta _2$ nên hệ số góc của

$d_2$ là

$-\frac{b}{a}$ và phương trình

$d_2$ là :

$y=-\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0$
Tọa độ

$(x_A;y_A)$ của

$A$ thỏa mãn hệ :

$\begin{cases}y_A=-\frac{b}{a}x_A \\ y_A=\frac{b}{a} x_A+\frac{(bx_0-ay_0)}{a} \end{cases} \begin{cases}x_A=\frac{bx_0-ay_0}{2b} \\ y_A=-\frac{bx_0+ay_0}{2a} \end{cases}$

$\Rightarrow OA=\frac{|bx_0+ay_0|\sqrt{a^2+b^2} }{2ab}$
-

$S_{OAMB}=2S_{OAB}=OA.OB.sin2\alpha$ (với

$\alpha=\widehat{AOx}$ )
Dễ dàng chứng minh được,

$sin2\alpha=\frac{2ab}{a^2+b^2}$
Do đó :

$S_{OAMB}=\frac{|b^2x_0^2-a^2y_0^2|(\sqrt{a^2+b^2} )}{4a^2b^2} .\frac{2ab}{a^2+b^2} =\frac{a^2b^2|\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2} |}{2ab} =\frac{ab}{2}$
Vậy

$S_{OAMB}$ là không đổi (đpcm)

Bài 107848

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107848

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan