Ta có: $(a^2-b^2)^2 \geq 0 \Rightarrow a^4+b^4-2a^2b^2 \geq 0$
Tương tự ta có: $b^4+c^4-2b^2c^2 \geq 0$
$c^4+a^4-2c^2a^2 \geq 0$.
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta có:
$a^4+b^4+c^4 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ $(1)$
Ta lại có: $(b-c)^2 \geq 0 \Rightarrow b^2+c^2-2bc \geq 0$
nên $a^2(b-c^2) \geq 0 \Rightarrow a^2b^2+a^2c^2-2a^2bc \geq 0 $
Tương tự ta có: $b^2a^2+b^2c^2-2b^2ac \geq 0$
$c^2b^2+c^2a^2-2c^2ab \geq 0$
Cộng các bất đẳng thức vế với vế ta có:
$a^2b^2+b^2c^2 +c^2a^2\geq a^2bc+b^2ac+c^2ab$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ ta có điều phải chứng minh.