Bài 107671

Question

cho đường tròn $(C): x^2+y^2=1$ và đường thẳng $d :Ax+By+1=0$
$a.$ Tìm điều kiện của $A,B$ để $d$ tiếp xúc với $(C)$
$b.$ Giả sử $d$ tiếp xúc với $(C)$ và $M,N$ là hai điểm thuộc $(C)$ sao cho $x_M=-1;y_N=1$.Hãy tính $A-B$ để tổng các khoảng cách từ $M,N$ đến $d$ là nhỏ nhất

score 0 · Answer 1

$a. d $tiếp xúc với $(C)$ khi khoảng cách từ tâm $O(0,0)$ đến đường thẳng $d :Ax+By+1=0$ bằng bán kính $R=1$ của $(C)$
$d(O;d)=\frac{|A.0+B.0+1|}{\sqrt{A^2+B^2} } =R=1$
$\Leftrightarrow \sqrt{A^2+B^2}=1\Leftrightarrow A^2+B^2=1 (1) $
Vậy khi $A^2+B^2=1$ thì $d$ tiếp xúc với $(C)$
$b.$ Biết $A^2+B^2=1$ (theo $(1)$)
- Khoảng cách từ $M(-1;0)$ đến $d :$
$Ax+By+1=0$ là $d(M,d)=\frac{|-A+1|}{\sqrt{A^2+B^2} } =1-A$
- Khoảng cách từ $N(0;1)$ đến $d$ : $d(N,d)=\frac{|-A+1|}{\sqrt{A^2+B^2} } =1+B$
Suy ra $d(M,d)+d(N,d)=2+B-A=2-(A-B)$
Tổng này nhỏ nhất khi $(A-B)$ lớn nhất (chú ý khi $A^2+B^2=1$ thì $A^2\leq 1$ hay $-1\leq A,B\leq 1)$
Gọi $K,L,I$ lần lượt là các điểm mà $d$ cắt $Ox$; tiếp xúc với $(C)$, cắt $Oy$
Gọi $\alpha=(\overrightarrow {Ox},\overrightarrow {OL} )$ ta có :
$\cos\alpha=\frac{\overline {OL} }{\overline {OK} } \Rightarrow \overline {OK} =\frac{1}{\cos\alpha} $
$\sin\alpha=\frac{\overline {OL} }{\overline {OI} } \Rightarrow \overline {OI} =\frac{1}{\sin\alpha} $
$d$ cắt $Ox$ tại $K$ nên : $\overline {OK} =-\frac{1}{A} \Rightarrow A=-\frac{1}{\overline {OK} } =-\cos\alpha$
$d$ cắt $Oy$ tại $I$ nên : $\overline {OI} =-\frac{1}{B} \Rightarrow B=-\frac{1}{\overline {OI} } =-\sin\alpha$
Khi đó : $A-B=\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{2}\sin(\alpha-\frac{\pi}{4} ) \leq \sqrt{2} $
$\Rightarrow (A-B)max\Leftrightarrow \sin(\alpha-\frac{\pi}{4} )=1$
$\Leftrightarrow \alpha-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \alpha=\frac{3\pi}{4} \Rightarrow (A-B)max=\sqrt{2} $

Bài 107671

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107671

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan