Bài 107624

Question

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số $\alpha$
$(x-1)cos\alpha+(y-1)sin\alpha-4=0$
$a.$ Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không phụ thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ
$b.$ Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định

score 0 · Answer 1

$a.$ Điểm $(x;y)$ không thuộc bất kỳ đường thẳng nào của họ nên không có số $\alpha$ nào để phương trình sau có nghiệm :
$(x-1)\cos\alpha+(y-1)\sin\alpha-4=0 (1)$
Nghĩa là phương trình $(1)$ vô nghiệm $\forall \alpha$, phương trình $(1)$ có dạng :
$a\cos x+b\sin x+c=0$
chỉ có nghiệm với điều kiện $a^2+b^2\geq c^2$
Vậy $(1)$ vô nghiệm khi $a^2+b^2<c^2\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2<16 (2)$
Vậy tập hợp các điểm không thuộc đường thẳng nào của họ là tập hợp những điểm thuộc miền trong của đường tròn $(C)$ tâm $I(1;1)$ và bán kính $R=4$
$b.$ Giả sử mọi đường thẳng $\Delta $ của họ đều tiếp xúc với một đường tròn $(C)$ thì khoảng cách từ tiếp điểm đến tâm $I(1;1)$ đúng bằng bán kính $R$
Ta lại có: $d(I,\Delta )=\frac{|(1-1)\cos\alpha+(1-1)\sin\alpha-4|}{\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} } =4$
Khoảng cách này bằng bán kính $R$ của đường tròn $(C)$chứng tỏ mọi đường thẳng này của họ đều tiếp xúc với đường tròn $(C)$.

Bài 107624

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107624

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan