Bài 107624

Question

Trong mặt phẳng tọa độ

$Oxy$ cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số

$\alpha$

$(x-1)cos\alpha+(y-1)sin\alpha-4=0$

$a.$ Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không phụ thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ

$b.$ Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định

score 0 · Answer 1

$a.$ Điểm

$(x;y)$ không thuộc bất kỳ đường thẳng nào của họ nên không có số

$\alpha$ nào để phương trình sau có nghiệm :

$(x-1)\cos\alpha+(y-1)\sin\alpha-4=0 (1)$
Nghĩa là phương trình

$(1)$ vô nghiệm

$\forall \alpha$ , phương trình

$(1)$ có dạng :

$a\cos x+b\sin x+c=0$
chỉ có nghiệm với điều kiện

$a^2+b^2\geq c^2$
Vậy

$(1)$ vô nghiệm khi

$a^2+b^2<c^2\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2<16 (2)$
Vậy tập hợp các điểm không thuộc đường thẳng nào của họ là tập hợp những điểm thuộc miền trong của đường tròn

$(C)$ tâm

$I(1;1)$ và bán kính

$R=4$

$b.$ Giả sử mọi đường thẳng

$\Delta$ của họ đều tiếp xúc với một đường tròn

$(C)$ thì khoảng cách từ tiếp điểm đến tâm

$I(1;1)$ đúng bằng bán kính

$R$
Ta lại có:

$d(I,\Delta )=\frac{|(1-1)\cos\alpha+(1-1)\sin\alpha-4|}{\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} } =4$
Khoảng cách này bằng bán kính

$R$ của đường tròn

$(C)$ chứng tỏ mọi đường thẳng này của họ đều tiếp xúc với đường tròn

$(C)$ .

Bài 107624

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107624

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan