Bài 107529

Question

Cho tam giác $ABC$. Trên các cạnh $BC, CA, AB$ ta lấy lần lượt các cặp điểm $A_{1}$ và $A_{2}, B_{1}$ và $B_{2}, C_{1}$ và $C_{2}$ sao cho 6 điểm đó nằm trên cùng một đường tròn. Xét các đường thẳng $x, y, z$ như sau: đường thẳng $x$ đi qua $A_{1}$ và vuông góc với $BC$, đường thẳng $y$ đi qua $B_{1}$ và vuông góc với $CA$, đường thẳng $z$ đi qua $C_{1}$ và vuông góc với $AB$. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng $x, y, z$ đồng quy, thì các đường thẳng đi qua $A_{2}$ và vuông góc với $BC$, đi qua $B_{2}$ và vuông góc với $CA$ đi qua $C_{2}$ và vuông góc với $AB$ cũng đồng quy.

phuongna · Answer 1 · 6/9/2012 8:41:45 AM

Gọi $(\gamma)$ là đường tròn đi qua các cặp điểm $A_{1}$ và $A_{2}, B_{1}$ và $B_{2}, C_{1}$ và $C_{2}$ đã nói trong bài toán. Gọi $O$ là tâm của $\gamma$. Gọi $A'_{1}$ là giao điểm thứ hai của $x$ với $\gamma$. Rõ ràng $A'_{1}A_{2}$ là đường kính của $\gamma$, vì vậy phép đối xứng tâm $O$ biến $A'_{1}$ thành $A_{2}$ và biến đường thẳng $x$ thành đường thẳng $x'$ đi qua $A_{2}$; ngoài ra $x'\parallel x$ hay $x' \perp BC.$
Tương tự, phép đối xứng tâm $O$ sẽ biến đường thẳng $y$ thành đường thẳng $y'$ đi qua $B_{2}$ và vuông góc với $AC$; biến đường thẳng $z$ thành đường thẳng $z'$ đi qua $C_{2}$ và vuông góc với $AB$. Theo giả thiết, ba đường thẳng $x, y, z$ đồng quy tại $S$. Suy ra ảnh $S'$ của $S$ trong phép đối xứng tâm $O$ cũng là điểm chung của $x', y', z'$. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài 107529

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107529

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan