Bài 107531

Question

Cho họ đường cong $C_m: x^2+y^2-2x-2y+m=0$ ($m$ là tham số)
$a.$ Với điều kiện nào của $m$ thì $C_m$ là đường tròn? Xác định tâm và bán kính?
$b.$ Tìm $m$ để $C_m$ là đường tròn có bán kính bằng $1$.Gọi đường tròn này là $(C)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ tiếp xúc $(C)$ tại $A(1+\frac{\sqrt{2} }{2} ;1-\frac{\sqrt{2} }{2} )$
$c.$ Viết phương trình các tiếp tuyến của $(C)$ biết chúng vuông góc với $d$

score 0 · Answer 1

$a.$ $C_m :x^2+y^2-2x-2y+m=0 (1)$
Để $C_m$ là đường tròn ta cần có :
$a^2+b^2-c>0\Leftrightarrow 1^2+1^2-m>0\Leftrightarrow 2-m>0\Leftrightarrow m<2$
Từ $(1)$ ta có : $(x-1)^2+(y-1)^2=2-m$
Đường tròn $(C_m)$ có tâm $I(1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{2-m} $
$b.$ Với $R=1$ ta có : $(C)$ có bán kính $R=\sqrt{2-m}=1\Leftrightarrow m=1 $
Khi đó đường tròn $(C)$ :
$x^2+y^2-2x-2y+1=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=1 (2)$
Với $A(1+\frac{\sqrt{2} }{2} ;1-\frac{\sqrt{2} }{2} )$ từ $(2)$ suy ra $(\frac{\sqrt{2} }{2} )^2+(\frac{2}{2} )^2=1$
Vậy điểm $A$ thuộc đường tròn $C$
Phương trình tiếp tuyến $(C)$ tại $A$ :
$(x-1)(x_A-1)+(y-1)(y_A-1)=1$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2} }{2} (x-1)+\frac{\sqrt{2} }{2} (y-1)=1\Leftrightarrow x-y-\sqrt{2}=0 $
Phương trình tiếp tuyến $(C)$ tại $A$ là : $x-y-\sqrt{2}=0 $
$c.$ Đường thẳng $d: x-y-\sqrt{2}=0 $
Tiếp tuyến vuông góc với $d$ có dạng $x+y+c=0$
Đường $x+y+c=0$ tiếp xúc với $(C)$ nên khoảng cách từ tâm $I(1;1)$ đến đường thẳng đó có độ dài bằng bán kính đường tròn.Ta có :
$\frac{|1+1+c|}{\sqrt{1^2+1^2} } =1\Leftrightarrow c=-2\pm \sqrt{2} $
Vậy tiếp tuyến cần tìm là : $x+y-2\pm \sqrt{2}=0 $

Bài 107531

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107531

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan