Bài 107418

Question

Cho đường thẳng $d :x-y+6=0$ và hai điểm $A(2;2),B(3;0)$
$a.$ Chứng minh rằng $A,B$ nằm về cùng một phía với $d$
$b$ Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất
$c.$ Lập phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $A$ và khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ lớn nhất

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có $x_A-y_A+6=6$ và $x_B-y_B+6=9$
$\Rightarrow (x_A-y_A+6)(x_B-y_B+6)>0$
$\Rightarrow A,B$ nằm về cùng một phía đối với $\Delta $
$b$ Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $d$
Ta có $MA+MB=MA'+MB\geq A'B$ không đổi
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow M$ trùng với $M_0$ là giao điểm của $d$ và $A'B$
Ta có $AA'\bot d$ nên $\overrightarrow {n_{AA'}}=\overrightarrow {a_d}=(1;1) $
$\Rightarrow AA':1(x-2)+1(y-2)=0$
$\Rightarrow AA': x+y-4=0$
Gọi $H=d\cap AA'$
$\Rightarrow \begin{cases}x_H-y_H+6=0 \\ x_H+y_H-4=0 \end{cases} \Rightarrow H(-1;5)$
Vì $A'$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $H$ là trung điểm $AA'\Rightarrow A'(-4;8)$
$A'B$ qua $B$ và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {A'B}=(7;-7) $
$\Rightarrow A'B : \frac{x-3}{7}=\frac{y}{-8} $ hay $8x+7y-24=0$
Tọa độ $M_0$ thỏa hệ : $\begin{cases}x-y+6=0 \\ 8x+7y-24=0 \end{cases} \Leftrightarrow M_0= (-\frac{6}{5}\frac{24}{5} ) $
Vậy $M(-\frac{6}{5};\frac{24}{5} )$ là điểm cần tìm,khi đó $MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất $A;B$
$c.$ Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ trên $\Delta $.Ta có: $d(B,\Delta)=KB\leq AB$ không đổi
Do đó $d(B,\Delta )$ lớn nhất $\Leftrightarrow KB=AB\Leftrightarrow K$ trùng $A\Leftrightarrow \Delta \bot AB$
Vậy $d(B,\Delta )$ lớn nhất $\Leftrightarrow \Delta $ qua $A$ và nhận $\overrightarrow {AB}=(1;-2) $ làm véctơ pháp tuyến $\Rightarrow \Delta :1(x-2)-2(y-2)=0\Leftrightarrow \Delta :x-2y+2=0$ là đường thẳng cần tìm.

Bài 107418

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107418

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan