Ta chứng minh bằng cách dựa vào định nghĩa $A \ge B \Leftrightarrow A-B \ge 0$.
Ta có : $(ab+cd)^2 \leq (a^2+c^2)(b^2+d^2)$
$\Leftrightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2-a^2b^2-c^2d^2-2abcd \geq 0$
$\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd \geq 0 \Leftrightarrow (ad-bc)^2 \geq 0$
Bất đẳng thức cuối cùng này đúng, suy ra BĐT cần chứng minh cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow ad=bc $.