Bài 107275

Question

Cho đường tròn bán kính $R=1$ trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT=1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đường thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất.

score 0 · Answer 1

Vì $TA=R=1$ nên để đường thẳng $d$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$ ta phải có $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$. Ta có: $B=C+\alpha; A=\pi-(B+C)=\pi-(\alpha+2C)$
Áp dụng định lú $\sin$ trong $\triangle ABC(R=1)$ ta có:
   $a=2\sin (\alpha+2C); c=2\sin C$
Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$, ta có:
   $S=\frac{1}{2}AC.TA.\sin \alpha=\sin(\alpha+2C).\sin \alpha$
Áp dụng định lí $\sin$ trong tam giác $ATB$:
   $\frac{c}{\sin\alpha}=\frac{AT}{\sin B} \Rightarrow \frac{\sin C}{\sin \alpha}=\frac{1}{\sin (\alpha+2C)}$
$\Rightarrow \sin \alpha=2\sin C.\sin (\alpha+C)=\cos \alpha-\cos (\alpha+2C)$
$\Rightarrow \cos (\alpha+2C)=\cos \alpha-\sin \alpha$
Vì vậy:
$S^2=\sin^2 \alpha.\sin^2(\alpha+2C)=\sin^2\alpha[1-(\cos\alpha-\sin \alpha)^2]=2.\sin^3\alpha.\cos\alpha$
Suy ra: $S^4=4\sin^6\alpha.\cos^6\alpha=4\sin^6\alpha(1-\sin^2\alpha)$
           $=\frac{4}{3}\sin^2\alpha.\sin^2\alpha.\sin^2\alpha(3-\sin^2\alpha)$
    $\leq \frac{4}{3}(\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+3-3\sin^2\alpha}{4})^4 \leq \frac{27}{64}$ ( Bất đẳng thức Cô-si)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\sin^2\alpha=3-3.\sin^2\alpha \Leftrightarrow \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}$

Bài 107275

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107275

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan