Bài 101905

Question

CMR : Trong tam giác

$ABC$ ,

$B=2A$ và

${b^2} = a(a + c)$ là

$2$ hệ thức tương đương .

score 0 · Answer 1

Từ

$B = 2A \Leftrightarrow B - A = A$

$\Leftrightarrow \sin (B - A) = \sin A$

(do

$B - A + A = B < {180^0}$ )

$\Leftrightarrow sinC-sin(A+B)+sin(B-A)=sinA$

$sinC-2sinAcosB=sinA$

$\Leftrightarrow sinC-2sinAcosB=sinA$

$\Leftrightarrow 2RsinC-4RsinAcosB=2RsinA$

$\Leftrightarrow c-2acosB=ac(a>0)$

$\Leftrightarrow a^2+c^2-2ac cosB=ac-a^2$

$\Leftrightarrow b^2=a(a+c)$

Đó là

$dpcm$

Nhận xét:

Từ bài tập trên có thể giải bài toán sau đây:

Có tồn tại hay không tam giác

$ABC$ có

$B=2A$ và

$3$ cạnh của nó là

$3$ số nguyên liên tiếp

Từ

$B=2A$

$\Rightarrow {b^2} = a(a + c)$ .Vì

$b>a$ , có các khả năng sau:

1/

$a$ là cạnh bé nhất,

$c$ là cạnh trung bình, tính

$a=x,c=x+1,b=x+2$

$\Rightarrow {(x + 2)^2} = x(x + 2) \Rightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0$ Do x>0 nên

$x = 4 \Rightarrow a = 4,b = 6,c = 5$

$2/$

$a$ là cạnh bé nhất,b là cạnh trung bình, tính

$a=x,b=x+1,c=x+2$

$\Rightarrow {(x + 2)^2} = x(x + 2) \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow a = 1,b = 2,c = 2$ . Loại vì không thỏa mãn bất đẳng thức về cạnh trong tam giác

$3/$

$a$ là cạnh trung bình,tức

$a=x+1,b=x+2,c=x$

$\Rightarrow {(x + 2)^2} = x(x + 2) \Rightarrow {x^2} + x - 1 = 0$ . Loại vì không có nghiêm nguyên

Như vậy có duy nhất 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đó là tam giác

$ABC$ với

$a=4$ ,

$b=6$ ,

$c=5$

Bài 101905

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101905

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan