Từ $B = 2A \Leftrightarrow B - A = A$
$ \Leftrightarrow \sin (B - A) = \sin A$
(do $B - A + A = B < {180^0}$)
$\Leftrightarrow sinC-sin(A+B)+sin(B-A)=sinA$
$sinC-2sinAcosB=sinA$
$\Leftrightarrow sinC-2sinAcosB=sinA$
$\Leftrightarrow 2RsinC-4RsinAcosB=2RsinA$
$\Leftrightarrow c-2acosB=ac(a>0)$
$\Leftrightarrow a^2+c^2-2ac cosB=ac-a^2$
$\Leftrightarrow b^2=a(a+c)$
Đó là $dpcm$
Nhận xét:
Từ bài tập trên có thể giải bài toán sau đây:
Có tồn tại hay không tam giác $ABC$ có $B=2A$ và $3$ cạnh của nó là $3$ số nguyên liên tiếp
Từ $B=2A$$ \Rightarrow {b^2} = a(a + c)$.Vì $b>a$, có các khả năng sau:
1/ $a$ là cạnh bé nhất, $c$ là cạnh trung bình, tính $a=x,c=x+1,b=x+2$
$ \Rightarrow {(x + 2)^2} = x(x + 2) \Rightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0$Do x>0 nên $x = 4 \Rightarrow a = 4,b = 6,c = 5$
$2/$ $a$ là cạnh bé nhất,b là cạnh trung bình, tính $a=x,b=x+1,c=x+2$
$ \Rightarrow {(x + 2)^2} = x(x + 2) \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow a = 1,b = 2,c = 2$. Loại vì không thỏa mãn bất đẳng thức về cạnh trong tam giác
$3/$ $a$ là cạnh trung bình,tức $a=x+1,b=x+2,c=x$
$ \Rightarrow {(x + 2)^2} = x(x + 2) \Rightarrow {x^2} + x - 1 = 0$. Loại vì không có nghiêm nguyên
Như vậy có duy nhất 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đó là tam giác $ABC$ với $a=4$, $b=6$, $c=5$