Bài 107275

Question

Cho đường tròn bán kính

$R=1$ trên tiếp tuyến tại một điểm

$A$ của đường tròn, lấy điểm

$T$ với

$AT=1$ . Đường thẳng

$d$ quay quanh

$T$ cắt đường tròn tại

$B$ và

$C$ . Xác định góc nhọn

$\alpha$ giữa đường thẳng

$d$ và tiếp tuyến

$AT$ sao cho tam giác

$ABC$ có diện tích lớn nhất.

score 0 · Answer 1

Vì

$TA=R=1$ nên để đường thẳng

$d$ cắt đường tròn tại

$B$ và

$C$ ta phải có

$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ . Ta có:

$B=C+\alpha; A=\pi-(B+C)=\pi-(\alpha+2C)$
Áp dụng định lú

$\sin$ trong

$\triangle ABC(R=1)$ ta có:

$a=2\sin (\alpha+2C); c=2\sin C$
Gọi

$S$ là diện tích tam giác

$ABC$ , ta có:

$S=\frac{1}{2}AC.TA.\sin \alpha=\sin(\alpha+2C).\sin \alpha$
Áp dụng định lí

$\sin$ trong tam giác

$ATB$ :

$\frac{c}{\sin\alpha}=\frac{AT}{\sin B} \Rightarrow \frac{\sin C}{\sin \alpha}=\frac{1}{\sin (\alpha+2C)}$

$\Rightarrow \sin \alpha=2\sin C.\sin (\alpha+C)=\cos \alpha-\cos (\alpha+2C)$

$\Rightarrow \cos (\alpha+2C)=\cos \alpha-\sin \alpha$
Vì vậy:

$S^2=\sin^2 \alpha.\sin^2(\alpha+2C)=\sin^2\alpha[1-(\cos\alpha-\sin \alpha)^2]=2.\sin^3\alpha.\cos\alpha$
Suy ra:

$S^4=4\sin^6\alpha.\cos^6\alpha=4\sin^6\alpha(1-\sin^2\alpha)$

$=\frac{4}{3}\sin^2\alpha.\sin^2\alpha.\sin^2\alpha(3-\sin^2\alpha)$

$\leq \frac{4}{3}(\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+3-3\sin^2\alpha}{4})^4 \leq \frac{27}{64}$ ( Bất đẳng thức Cô-si)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$\sin^2\alpha=3-3.\sin^2\alpha \Leftrightarrow \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{3}$

Bài 107275

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107275

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan