a) Ta cần chứng minh: $ab(a+b)-(a^3+b^3)\leq 0$
$\Leftrightarrow ab(a+b)-(a+b)(a^2-ab+b^2)\leq 0$
$\Leftrightarrow -(a+b)(a^2-2ab+b^2)\leq 0 \Leftrightarrow -(a+b)(a-b)^2 \leq0$
Vì $a>0, b>0$ nên $(a+b)>0; (a-b)^2 \geq 0$
nên bất đẳng thức $-(a+b)(a-b)^2\leq 0$ đúng.
Suy ra $a^2b+ab^2\leq a^3+b^3$.
b) Cách 1: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2\geq 2ab+2bc+2ca$
$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\geq 0$
bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra đpcm.
Cách 2: Xuất phát từ bất đẳng thức Cauchy cho $2$ số không âm $a^2, b^2$ ta có:
$\frac{a^2+b^2}{2} \geq \sqrt{a^2.b^2} \Rightarrow \frac{a^2+b^2}{2} \geq |ab| \ge ab $ (1)
Tương tự ta có: $\frac{b^2+c^2}{bc} \ge bc$ (2); $\frac{c^2+a^2}{2} \geq ca $ (3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3) vế với vế ta được:
$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$.