Bài 107250

Question

Bất đẩng thức Holder:
Cho $f,g$ liên tục trên $[a,b].$Chứng minh rằng:
$\int\limits^{b}_{a}|f(x)g(x)|dx\leq ||f||_{p}||g||_{q},$ trong đó: $\begin{cases}p,q>1 \\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\\||f||_{p}=(\int\limits^{b}_{a}|f(x)|^{p}dx)^{\frac{1}{p}} \end{cases}$

score 0 · Answer 1

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Young:
$AB\leq \frac{A^{p}}{p}+\frac{B^{q}}{q},\forall A,B\geq 0 (1)$
Quả vậy:
*Nếu hoặc $A=0$ hoặc $B=0$ thì (1) hiển nhiên đúng.
*$A,B>0$:
Xét: $f(x)=\ln x,x>0$
$f'(x)=\frac{1}{x}$
$f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0,\forall x>0$
$\Rightarrow $ Theo BĐT Jensen,ta có:
$f(\frac{A^{p}}{p}+\frac{B^{q}}{q})\geq \frac{f(A^{p})}{p}+\frac{f(B^{q})}{q}$
$\Rightarrow \ln (\frac{A^{p}}{p}+\frac{B^{q}}{q})\geq\ln AB $
$\Rightarrow \frac{A^{p}}{p}+\frac{B^{q}}{q}\geq AB,\forall AB \geq 0$
Dấu "=" $\Leftrightarrow A^{p}=B^{q}$
Quay lại việc chứng minh BĐT Holder:
*Nếu hoặc $||f||_{p}=0$ hoặc $||g||_{q}=0$ tương đương hoặc $f\equiv 0$ hoặc $g\equiv 0$
$\Rightarrow $BĐT hiển nhiên đúng.
*Nếu $||f||_{p},||g||_{q}>0$
Đặt: $\begin{cases}\alpha(x)=\frac{|f(x)|}{||f||_{p}}\geq 0 \\ \beta(x)=\frac{|g(x)|}{||g||_{q}}\geq 0 \end{cases}(\forall x\in [a,b])$
Theo (1) suy ra rằng:
$\alpha(x)\beta(x)\leq \frac{[\alpha(x)]^{p}}{p}+\frac{[\beta(x)]^{q}}{q}$
$\Rightarrow \int\limits^{b}_{a}\alpha(x)\beta(x)\leq \frac{\int\limits^{b}_{a}[\alpha(x)]^{p}dx}{p}+\frac{\int\limits^{b}_{a}[\beta(x)]^{q}dx}{q}=1$
$\Rightarrow \int\limits^{b}_{a}|f(x)g(x)|dx\leq (\int\limits^{b}_{a}|f(x)|^{p}dx)^{\frac{1}{p}}.(\int\limits^{b}_{a}|g(x)|^{q}dx)^{\frac{1}{q}}$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)

Bài 107250

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107250

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan