Bài 107218

Question

Cho ba đường tròn có chu vi

$C_1, C_2, C_3$ từng đôi tiếp xúc ngoài tại

$A, B, C$ . Vòng tròn nội tiếp tam giác

$ABC$ có chu vi

$C$ .
Chứng minh:

$C\sqrt{3} \leq \sqrt[3]{C_1C_2C_3}$

score 0 · Answer 1

Ta thấy nếu gọi

$O_1, O_2, O_3$ là tâm và

$R_1, R_2, R_3$ tương ứng là bán kính của các đường tròn ấy; thì đường tròn ngoại tiếp

$\triangle ABC$ , chính là đường tròn nội tiếp

$\triangle O_1O_2O_3$
Gọi

$r$ là bán kính đường tròn ấy thì:

$r=\frac{S_{O_1O_2O_3}}{P_{O_1O_2O_3}}$ , trong đó

$S_{O_1O_2O_3}$ và

$p_{O_1O_2O_3}$ tương ứng là diện tích nửa chu vi của

$\triangle O_1O_2O_3$ .
Ta có:

$O_1O_2=R_1+R_2; O_1O_3=R_1+R_3; O_2O_3=R_2+R_3$
Vậy

$p_{O_1O_2O_3}=R_1+R_2R_3$
Theo công thức Hê-rông ta có:

$S_{O_1O_2O_3}=\sqrt{(R_1+R_2+R_3)R_1R_2R_3}$ từ đó

$r=\sqrt{\frac{R_1R_2R_3}{(R_1+R_2+R_3}}$
Theo bất đẳng thức Cô-si thì

$R_1+R_2+R_3\geq 3\sqrt[3]{R_1R_2R_3}$ nên ta có:

$r\leq \frac{\sqrt{R_1R_2R_3}}{\sqrt{3\sqrt[3]{R_1R_2R_3}}}$ hay

$\sqrt{3}r\leq \sqrt[3]{R_1R_2R_3}$
Tức là

$2\pi r\sqrt{3}\leq \sqrt[3]{8\pi^3.R_1R_2R_3}$ vậy

$C\sqrt{3} \leq \sqrt[3]{C_1C_2C_3}$

$\Rightarrow$ điều phải chứng minh.
Dấu "=" có

$\Leftrightarrow R_1=R_2=R_3$

1 Đáp án