Bài 100845

Question

Cho tam giác

$ABC$ có độ dài các cạnh là

$a, b, c$ và số đo các góc là

$A, B, C$ . Chứng minh rằng.
1)

$ab( a + b - 2c)+ bc(b + c - 2a) + ca(c + a - 2b) \ge 0 (1)$
2)

$\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{A}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{B}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{C}{2}} \right)}} \ge 12 (2)$
Khi nào thì các bất đẳng thức

$(1)$ và

$(2)$ xảy ra đẳng thức?

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/25/2012 9:28:19 AM

$1$ .

$(1) \Leftrightarrow \frac{{a + b - 2c}}{c} + \frac{{b + c - 2a}}{a} + \frac{{c + a - 2b}}{b} \le 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{a}{c} + \frac{c}{a}} \right) + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right) - 6 \ge 0$
Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{c}{a};\frac{b}{c} = \frac{c}{b};\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$

$\Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

$2$ . Ta có:

${\sin ^2}\frac{A}{2} = \frac{{1 - \cos A}}{2} = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right) = \frac{{{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}}}{{4bc}} \le \frac{{{a^2}}}{{4bc}} \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{A}{2}}} \ge \frac{{4bc}}{{{a^2}}}$
Tương tự:

$\frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{B}{2}}} \ge \frac{{4ca}}{{{b^2}}}, \frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{C}{2}}} \ge \frac{{4ab}}{{{c^2}}}$
Do đó

$\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{A}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{B}{2}} \right)}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{C}{2}} \right)}} \ge 4\left( {\frac{{bc}}{{{a^2}}} + \frac{{ca}}{{{b^2}}} + \frac{{ab}}{{{c^2}}}} \right) \ge 4.3\sqrt[3]{{\frac{{bc.ca.ab}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}} = 12$
Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \Delta$ đều

Bài 100845

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100845

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan