Bài 101439

Question

Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ là tam giác nhọn thì $\tan^8A + \tan^8B + \tan^8C \ge 9\tan^2A\tan^2B\tan^2C$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 2:26:57 PM

Ta có công thức quen thuộc: $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C{\rm{ ;}}\forall \Delta $ nhọn
Do đó theo Cosi: $\tan A.\tan B.\tan C = \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{{\tan A\tan B\tan C}}$
$ \Rightarrow {\left( {\tan ArgB\tan C} \right)^3} \ge 27.\tan A\tan B\tan C$
$\Rightarrow {\left( {\tan A\tan B\tan C} \right)^2} \ge 27 \Rightarrow {\left( {\tan A\tan B\tan C} \right)^8} \ge 27{\left( {\tan A\tan B\tan C} \right)^6}$
$\Rightarrow{\left( {\sqrt[3]{{\tan A\tan B\tan C}}} \right)^8} \ge 3t{g^2}At{g^2}Bt{g^2}C$
$ \Rightarrow 9t{g^2}At{g^2}Bt{g^2}C \le 3.\sqrt[3]{{t{g^8}At{g^8}Bt{g^8}C}} \le t{g^8}A + t{g^8}B + t{g^8}C$ (BĐT Cosi)
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Đăng bài 26-04-12 02:26 PM

hoàng anh thọ
15 1

175K 551K

hoàng anh thọ · Answer 2 · 4/26/2012 2:26:47 PM

Ta có công thức quen thuộc: $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A.\tan B.\tan C{\rm{ ;}}\forall \Delta $ nhọn
Do đó theo Cosi: $\tan A.\tan B.\tan C = \tan A + \tan B + \tan C \ge 3\sqrt[3]{{\tan A\tan B\tan C}}$
$ \Rightarrow {\left( {\tan ArgB\tan C} \right)^3} \ge 27.\tan A\tan B\tan C$
$\Rightarrow {\left( {\tan A\tan B\tan C} \right)^2} \ge 27 \Rightarrow {\left( {\tan A\tan B\tan C} \right)^8} \ge 27{\left( {\tan A\tan B\tan C} \right)^6}$
$\Rightarrow{\left( {\sqrt[3]{{\tan A\tan B\tan C}}} \right)^8} \ge 3t{g^2}At{g^2}Bt{g^2}C$
$ \Rightarrow 9\tan^2 A\tan^2 B\tan^2 C \le 3.\sqrt[3]{{\tan^8 A\tan^8 B\tan^8 C}} \le \tan^8 A + \tan^8 B + \tan^8 C$ (BĐT Cosi)
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều

Bài 101439

2 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101439

2 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan