Bài 107206

Question

Cho tứ diện $SABC$ có $\Delta ABC$ vuông tại $B, AB=a, SA\bot (ABC)$ và $SA=a; AH\bot SB$ tại $H; AK\bot SC$ tại $K$
a) Chứng minh $HK\bot SC$
b) Gọi $I=HK\cap BC$. Chứng minh $B$ là trung điểm của $CI$
c) Tính $sin$ góc $\varphi$ giữa $SB$ và $(AHK)$
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp $SABC$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/7/2012 3:08:36 PM

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), s(0;0;a)$

a) Ta có: $\overrightarrow{SB}=(-a;0;a)=-a(1;0;1) $
$\overrightarrow{SC}=(-a;-a;a) =-a(1;1;-1)$
$\Rightarrow $ Phương trình tham số $SB:\left\{ \begin{array}{l} x=a+t\\ y=0\\z=-t \end{array} \right. (t\in R)$
$H\in SB\Rightarrow H(a+t;0;-t)$
$AH\bot SB\Leftrightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{SB}=0\Leftrightarrow (a+t;0;-t)(1;0;-1)=0 $
$\Rightarrow t=-\frac{a}{2}\Rightarrow H(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ) $
phương trình tham số $SC:\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=t\\z=a-t \end{array} \right. $
$\Rightarrow K(t;t;a-t).\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{SC}=0 \Leftrightarrow (t;t;a-t)(1;1;-1) $
$K(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{2a}{3} )\Rightarrow \overrightarrow{HK}=(-\frac{a}{6};\frac{a}{3};\frac{a}{6} )=-\frac{a}{6}(1;-2;-1) $
$\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{SC}=\frac{a^2}{6}(1;-2;-1)(1;1;-1)=0 $
Vậy $HK\bot SC$

b) Phương trình $HK:\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{a}{2}+t \\ y=-2t\\z==\frac{a}{2}-t \end{array} \right. $
Phương trình $(ABC):z=0.$ Ta có: $I=HK\cap (ABC)\Rightarrow \frac{a}{2}-t=0 $
$t=\frac{a}{2}\Rightarrow I(a;-a;0)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_I+x_C=2a=2x_B\\ y_I+y_C=0=2y_B\\z_I+z_C=0=2z_B \end{array} \right. $
Vậy $B$ là trung điểm của $CI$

c) Ta có $\left\{ \begin{array}{l} SC\bot AK (gt)\\ SC\bot HK (cmt)\end{array} \right. \Rightarrow SC\bot (AHK)$
$\overrightarrow{n}_{(AHK)}=(1;1;-1)\Rightarrow sin \varphi=|cos(\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC} )| $
$=|cos(\overrightarrow{n}"_{SB},\overrightarrow{n}_{(AHK)} )|=\frac{|(1;0;-1)(1;1;-1)|}{\sqrt{(1^2+0^2+1^2)(1^2+1^2+1^2)} } =\frac{2}{\sqrt{6} } $

d) Gọi $J(x_0;y_0;z_0)$
$\Rightarrow $ Phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x_0x-2y_0y-2z_0z+d=0$
$A,B,C,S\in (S)\Rightarrow d=0$ và $J(\frac{a}{2};\frac{a}{2} ;\frac{a}{2} )$
$\Rightarrow R=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}; \frac{a^2}{4} } \frac{a\sqrt{3} }{2} $
Vậy $J$ là trung điểm $SC$ và $R=\frac{a\sqrt{3} }{2} $

Bài 107206

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107206

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan