Bài 107097

Question

Chứng minh:
a) $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c \forall a,b,c>0 (1)$
b) $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \forall a,b,c\geq 0 (2)$

score 0 · Answer 1

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta có: $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 2\sqrt{\frac{bc.ca}{a.b}}=2c$.
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{bc}{a}=\frac{ca}{b}\Leftrightarrow a=b.$
Tương tự $\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2\sqrt{\frac{ca.ab}{b.c}}=2a$. Dấu bằng xảy ra khi b=c.
$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2\sqrt{\frac{ab.bc}{c.a}}=2b$. Dấu bằng xảy ra khi c=a.
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta suy ra (1).
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

b) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
Vì $\left\{ \begin{array}{l} a^2+b^2\geq 2ab\\ b^2+c^2\geq 2bc\\c^2+a^2\geq 2ca\end{array} \Rightarrow \right.a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ nên:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (\frac{a+b+c}{3})^2\geq \frac{ab+bc+ca}{3}\Leftrightarrow (2)$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

Bài 107097

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107097

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan