Bài 107068

Question

Cho điểm $A(1;1)$ trên mặt phẳng tọa độ.Hãy tìm điểm $B$ trên đường thẳng $y=3$ và điểm $C$ trên trục hoành sao cho tam giác $ABC$ là tam giác đều

score 0 · Answer 1

Do điểm $B$ ở trên đường thẳng $y=3$ nên tọa độ của $B$ là $(x_B;3)$
Điểm $C$ ở trên trục hoành nên tọa độ của $C$ là $(x_C;0)$
Đường thẳng $AC$ đi qua điểm $A(1;1)$ có hệ số góc $k$ nên có phương trình :
$y=k(x-1)+1 (k\neq 0) \Leftrightarrow kx-y-k+1=0$
$C$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ với trục hoành $(y=0)$ nên tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}kx-y-k+1=0 \\ y=0 \end{cases} \Leftrightarrow C(\frac{k-1}{k};0 )   (1)$
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ thì $M$ có tọa độ là:
$\begin{cases}x_M=\frac{x_A+x_C}{1}=\frac{1+\frac{k-1}{k} }{2}=\frac{2k-1}{2k}    \\ y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}    \end{cases} $
Gọi $d$ là đường trung trực của $AC$ vì $d\bot AB$ nên $d$ có hệ số góc $-\frac{1}{k} $.
Đường thẳng $d$ đi qua $M(\frac{2k-1}{2k};\frac{1}{2} )$ nên có phương trình là :
$y=-\frac{1}{k} (x-\frac{2k-1}{2k} )+\frac{1}{2} $
Đường thẳng $d$ qua đỉnh $B(x_B;3)$ nên ta có :
$3=-\frac{1}{k} (x_B-\frac{2k-1}{2k} )+\frac{1}{2} \Rightarrow x_B=\frac{-5k^2+2k-1}{2k}   (2) $
- Cạnh $AB$ có độ dài xác định theo :
$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
$=(-\frac{-5k^2+2k-1}{2k}-1 )^2+(3-1)^2=\frac{25k^4+26k^2+1}{4k^2} $
- Cạnh $AC$ có độ dài xác định theo :
$AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
$=(\frac{k-1}{k} -1)^2+(0-1)^2=\frac{1+k^2}{k^2} $
Tam giác $ABC$ là tam giác đều nên $AB=AC$ suy ra :
$\frac{25k^4+26k^2+1}{4k^2} =\frac{1+k^2}{k^2} $
$\Leftrightarrow 25k^4+26k^2+1=4+4k^2\Leftrightarrow 25k^4+22k^2-3=0$
$\Leftrightarrow k^2=\frac{3}{25} \Leftrightarrow k_1=\frac{\sqrt{3} }{5} ;k_2=-\frac{\sqrt{3} }{5}     (3)$
Thế $k_1,   k_2$ ở $(3)$ vào $(2)$ ta được :
$B_1(\frac{\sqrt{3} -4}{\sqrt{3} };0 )               B_2(\frac{\sqrt{3} +4}{\sqrt{3} };0 )$
Thế $k_1, k_2$ ở $(3)$ vào $(1)$ ta được :
$C_1(\frac{\sqrt{3} -5}{\sqrt{3} };0 )                C_2=(\frac{\sqrt{3} +5}{\sqrt{3} };0 )$

Bài 107068

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107068

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan