Bài 107068

Question

Cho điểm

$A(1;1)$ trên mặt phẳng tọa độ.Hãy tìm điểm

$B$ trên đường thẳng

$y=3$ và điểm

$C$ trên trục hoành sao cho tam giác

$ABC$ là tam giác đều

score 0 · Answer 1

Do điểm

$B$ ở trên đường thẳng

$y=3$ nên tọa độ của

$B$ là

$(x_B;3)$
Điểm

$C$ ở trên trục hoành nên tọa độ của

$C$ là

$(x_C;0)$
Đường thẳng

$AC$ đi qua điểm

$A(1;1)$ có hệ số góc

$k$ nên có phương trình :

$y=k(x-1)+1 (k\neq 0) \Leftrightarrow kx-y-k+1=0$

$C$ là giao điểm của đường thẳng

$AC$ với trục hoành

$(y=0)$ nên tọa độ của

$C$ là nghiệm của hệ phương trình :

$\begin{cases}kx-y-k+1=0 \\ y=0 \end{cases} \Leftrightarrow C(\frac{k-1}{k};0 ) (1)$
Gọi

$M$ là trung điểm của

$AC$ thì

$M$ có tọa độ là:

$\begin{cases}x_M=\frac{x_A+x_C}{1}=\frac{1+\frac{k-1}{k} }{2}=\frac{2k-1}{2k} \\ y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2} \end{cases}$
Gọi

$d$ là đường trung trực của

$AC$ vì

$d\bot AB$ nên

$d$ có hệ số góc

$-\frac{1}{k}$ .
Đường thẳng

$d$ đi qua

$M(\frac{2k-1}{2k};\frac{1}{2} )$ nên có phương trình là :

$y=-\frac{1}{k} (x-\frac{2k-1}{2k} )+\frac{1}{2}$
Đường thẳng

$d$ qua đỉnh

$B(x_B;3)$ nên ta có :

$3=-\frac{1}{k} (x_B-\frac{2k-1}{2k} )+\frac{1}{2} \Rightarrow x_B=\frac{-5k^2+2k-1}{2k} (2)$
- Cạnh

$AB$ có độ dài xác định theo :

$AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$

$=(-\frac{-5k^2+2k-1}{2k}-1 )^2+(3-1)^2=\frac{25k^4+26k^2+1}{4k^2}$
- Cạnh

$AC$ có độ dài xác định theo :

$AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$

$=(\frac{k-1}{k} -1)^2+(0-1)^2=\frac{1+k^2}{k^2}$
Tam giác

$ABC$ là tam giác đều nên

$AB=AC$ suy ra :

$\frac{25k^4+26k^2+1}{4k^2} =\frac{1+k^2}{k^2}$

$\Leftrightarrow 25k^4+26k^2+1=4+4k^2\Leftrightarrow 25k^4+22k^2-3=0$

$\Leftrightarrow k^2=\frac{3}{25} \Leftrightarrow k_1=\frac{\sqrt{3} }{5} ;k_2=-\frac{\sqrt{3} }{5} (3)$
Thế

$k_1, k_2$ ở

$(3)$ vào

$(2)$ ta được :

$B_1(\frac{\sqrt{3} -4}{\sqrt{3} };0 ) B_2(\frac{\sqrt{3} +4}{\sqrt{3} };0 )$
Thế

$k_1, k_2$ ở

$(3)$ vào

$(1)$ ta được :

$C_1(\frac{\sqrt{3} -5}{\sqrt{3} };0 ) C_2=(\frac{\sqrt{3} +5}{\sqrt{3} };0 )$

Bài 107068

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107068

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan